Запишите два числа, для которых наибольшим общим делителем будет число: а) 7; б) 24.

Чтобы найти два числа с заданным наибольшим общим делителем (НОД), нужно помнить, что эти числа должны быть кратны этому числу, а также могут содержать дополнительные множители.

а) НОД = 7

Для начала, запишем два числа, которые имеют НОД 7. Поскольку 7 является простым числом, это означает, что оба числа должны быть кратны 7, и они не должны делиться на большее число, которое также делится на 7.

Пример двух чисел:

• Первое число: ( 7 \times 3 = 21 )
• Второе число: ( 7 \times 5 = 35 )

Теперь проверим НОД(21, 35):

• Делим 21 и 35 на 7: ( 21 = 7 \times 3 ) и ( 35 = 7 \times 5 ).
• НОД(21, 35) = 7, так как 7 является их единственным общим делителем.

Таким образом, числа 21 и 35 имеют НОД 7.

б) НОД = 24

Теперь рассмотрим случай с НОД 24. 24 можно разложить на множители: ( 24 = 2^3 \times 3^1 ). Это означает, что оба числа должны включать в себя все эти множители.

Пример двух чисел:

• Первое число: ( 24 \times 1 = 24 )
• Второе число: ( 24 \times 2 = 48 )

Теперь проверим НОД(24, 48):

• Разложим 24 и 48 на множители:
  • ( 24 = 2^3 \times 3^1 )
  • ( 48 = 2^4 \times 3^1 )
• НОД(24, 48) = ( 2^{\min(3, 4)} \times 3^{\min(1, 1)} = 2^3 \times 3^1 = 24 ).

Следовательно, числа 24 и 48 имеют НОД 24.

Вывод

Таким образом, два числа с заданным НОД:

• а) 21 и 35 (НОД = 7)
• б) 24 и 48 (НОД = 24)

Вы также можете создать множество других пар чисел, соблюдая условия кратности и наличия общих множителей.

Чтобы найти два числа, для которых наибольшим общим делителем (НОД) будет заданное число, следует учитывать определение НОД. Наибольший общий делитель двух чисел — это наибольшее число, на которое оба числа делятся без остатка. При этом, это число должно быть делителем каждого из данных чисел.

Давайте внимательно разберем каждый случай:

а) НОД = 7

Чтобы наибольшим общим делителем двух чисел было 7, оба числа должны быть кратны 7 (т.е. делиться на 7 без остатка). При этом числа не должны иметь общих множителей, кроме 7 (иначе НОД будет больше 7).

Пример подходящих чисел:

• Пусть первое число = 7 × 1 = 7.
• Пусть второе число = 7 × 3 = 21.

Проверим:

1. Оба числа (7 и 21) делятся на 7.
2. Наибольший общий делитель этих чисел = 7.

Другой пример:

• Первое число = 7 × 4 = 28.
• Второе число = 7 × 5 = 35.

Проверим:

1. Оба числа (28 и 35) делятся на 7.
2. НОД = 7.

Таким образом, ответ: примеры таких пар чисел — (7, 21), (28, 35), (14, 49) и т.д.

б) НОД = 24

Чтобы наибольшим общим делителем двух чисел было 24, оба числа должны быть кратны 24. Однако, чтобы НОД был именно равен 24, числа не должны содержать общих множителей, которые превышают 24.

Пример подходящих чисел:

• Пусть первое число = 24 × 1 = 24.
• Пусть второе число = 24 × 5 = 120.

Проверим:

1. Оба числа (24 и 120) делятся на 24.
2. НОД = 24.

Другой пример:

• Первое число = 24 × 2 = 48.
• Второе число = 24 × 7 = 168.

Проверим:

1. Оба числа (48 и 168) делятся на 24.
2. НОД = 24.

Таким образом, ответ: примеры таких пар чисел — (24, 120), (48, 168), (72, 96) и т.д.

Общий подход

Для нахождения таких чисел можно использовать следующий алгоритм:

1. Выберите НОД (в данном случае 7 или 24).
2. Умножьте НОД на два любых числа (m и n), которые являются взаимно простыми (т.е. НОД(m, n) = 1). Например, для m = 1 и n = 3.
3. Полученные числа будут кратны исходному НОД, а их НОД останется равным заданному числу.