Z=-1- корень из 3 i записать в тригонометрической форме

Для записи комплексного числа Z=-1-√3i в тригонометрической форме, сначала найдем модуль и аргумент этого числа.

Модуль числа Z вычисляется по формуле |Z| = √(Re(Z)^2 + Im(Z)^2), где Re(Z) - действительная часть числа, Im(Z) - мнимая часть числа. В данном случае Re(Z)=-1, Im(Z)=-√3, поэтому |Z| = √((-1)^2 + (-√3)^2) = √(1 + 3) = √4 = 2.

Аргумент числа Z вычисляется по формуле arg(Z) = arctg(Im(Z)/Re(Z)). В данном случае arg(Z) = arctg((-√3)/(-1)) = arctg(√3) = π/3.

Теперь, имея модуль и аргумент числа, мы можем записать его в тригонометрической форме: Z = 2(cos(π) + i*sin(π/3)).

Чтобы записать комплексное число ( Z = -1 - \sqrt{3}i ) в тригонометрической форме, нужно следовать нескольким шагам:

1. Найдите модуль комплексного числа.

Модуль комплексного числа ( z = a + bi ) определяется как:

[ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} ]

Для нашего числа ( Z = -1 - \sqrt{3}i ), где ( a = -1 ) и ( b = -\sqrt{3} ), модуль будет:

[ |Z| = \sqrt{(-1)^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2 ]

1. Найдите аргумент комплексного числа.

Аргумент комплексного числа ( z = a + bi ) определяется как угол ( \theta ) в полярных координатах, который можно найти с помощью функции тангенса:

[ \tan(\theta) = \frac{b}{a} ]

Для нашего числа:

[ \tan(\theta) = \frac{-\sqrt{3}}{-1} = \sqrt{3} ]

Значение ( \theta ) с положительным тангенсом ( \sqrt{3} ) и отрицательными ( a ) и ( b ) соответствует углу во втором квадранте. Таким углом является ( \theta = \frac{2\pi}{3} ).

1. Запишите число в тригонометрической форме.

Тригонометрическая форма комплексного числа записывается как:

[ z = |z| (\cos \theta + i \sin \theta) ]

Таким образом, для нашего числа:

[ Z = 2 \left( \cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3} \right) ]

Таким образом, комплексное число ( Z = -1 - \sqrt{3}i ) в тригонометрической форме записывается как:

[ Z = 2 \left( \cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3} \right) ]