Y(f)=(x-4)^2е^1-х Найти точку максимума. Помогите ,пожалуйста.

Для того чтобы найти точку максимума функции ( Y(f) = (x-4)^2 e^{1-x} ), нужно следовать таким шагам:

1. Найти производную функции ( Y(f) ):

   Для этого применим правило произведения и цепное правило. Пусть: [ u(x) = (x-4)^2 \quad \text{и} \quad v(x) = e^{1-x} ] Тогда ( Y(f) = u(x) \cdot v(x) ).

   Производная будет: [ Y'(f) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) ]

   Найдем ( u'(x) ) и ( v'(x) ): [ u'(x) = 2(x-4) ] [ v'(x) = -e^{1-x} ]

   Подставляем в формулу для производной: [ Y'(f) = 2(x-4) \cdot e^{1-x} + (x-4)^2 \cdot (-e^{1-x}) ]

   Это можно упростить: [ Y'(f) = e^{1-x} (2(x-4) - (x-4)^2) ] [ = e^{1-x} ((x-4)(2 - (x-4))) ] [ = e^{1-x} ((x-4)(6-x)) ]

2. Найти критические точки:

   Для этого приравняем производную к нулю: [ e^{1-x} (x-4)(6-x) = 0 ]

   Поскольку ( e^{1-x} \neq 0 ) для всех ( x ), решим уравнение: [ (x-4)(6-x) = 0 ]

   Это дает нам две критические точки: [ x = 4 \quad \text{и} \quad x = 6 ]

3. Определить, где функция достигает максимума:

   Чтобы определить, в какой из точек функция достигает максимума, можно воспользоваться вторым производным тестом или просто анализом знаков производной.

   Рассмотрим второй производный тест. Найдем вторую производную ( Y''(f) ):

   Первая производная: [ Y'(f) = e^{1-x} ((x-4)(6-x)) ]

   Производим дифференцирование еще раз: [ Y''(f) = \frac{d}{dx} \left(e^{1-x} (x-4)(6-x)\right) ]

   Упрощение производной: [ Y''(f) = e^{1-x}\left(-1 \cdot (x-4)(6-x) + (6-x) - (x-4)\right) ] [ = e^{1-x} \left(-(x-4)(6-x) -2 \right) ]

   Мы можем подставить ( x = 4 ) и ( x = 6 ) для проверки:

   • ( x = 4 ): [ Y''(4) = e^{-3} \cdot (0 - 2) < 0 ]

     Это указывает на максимум в точке ( x = 4 ).

   • ( x = 6 ): [ Y''(6) = e^{-5} \cdot (0 - 2) < 0 ]

     Это также указывает на максимум в точке ( x = 6 ).

   Поскольку в обоих случаях вторая производная отрицательна, оба являются точками максимума. Однако, чтобы определить глобальный максимум, нужно сравнить значения функции в этих точках.

   Вычислим ( Y(f) ) в ( x = 4 ) и ( x = 6 ):

   • ( Y(4) = (4-4)^2 e^{1-4} = 0 )
   • ( Y(6) = (6-4)^2 e^{1-6} = 4e^{-5} )

   Поскольку ( 4e^{-5} > 0 ), глобальный максимум достигается в точке ( x = 6 ).

Следовательно, точка максимума функции ( Y(f) = (x-4)^2 e^{1-x} ) — это ( x = 6 ).

Чтобы найти точку максимума функции Y(f), нужно найти производную функции и приравнять её к нулю. После этого найденное значение подставить в исходную функцию, чтобы найти координаты точки максимума.

Для нахождения точки максимума функции Y(f) нужно найти ее производную и приравнять ее к нулю. Затем найденное значение подставить обратно в исходную функцию, чтобы найти координаты точки максимума.

1. Найдем производную функции Y(f) по переменной х: Y'(f) = (2(x-4)e^(1-x) - (x-4)^2e^(1-x))

2. Приравняем производную к нулю и найдем значение х: 2(x-4)e^(1-x) - (x-4)^2e^(1-x) = 0 2(x-4) - (x-4)^2 = 0 2(x-4) - (x^2 - 8x + 16) = 0 2x - 8 - x^2 + 8x - 16 = 0 -x^2 + 10x - 24 = 0 x^2 - 10x + 24 = 0 (x-6)(x-4) = 0

Отсюда получаем два значения х: x = 6 и x = 4.

1. Теперь подставим найденные значения х обратно в исходную функцию, чтобы найти координаты точек максимума: Для x = 6: Y(6) = (6-4)^2e^(1-6) = 4e^(-5) Для x = 4: Y(4) = (4-4)^2e^(1-4) = 0

Таким образом, точка максимума функции Y(f) будет (6, 4e^(-5)).