Y=2x^3-9x^2+12x-8 на экстремум

Для нахождения экстремумов функции Y=2x^3-9x^2+12x-8 необходимо найти ее производные и приравнять их к нулю.

1. Найдем производную функции Y по переменной x: Y'=6x^2-18x+12

2. Теперь приравняем производную к нулю и найдем критические точки: 6x^2-18x+12=0 Делаем замену переменной: x^2-3x+2=0 Факторизуем: (x-1)(x-2)=0 Таким образом, критические точки x=1 и x=2.

3. Для определения типа экстремума необходимо проанализировать вторую производную функции: Y''=12x-18

4. Подставляем найденные критические точки во вторую производную: Y''(1)=121-18=12-18=-6 < 0 Y''(2)=122-18=24-18=6 > 0

Таким образом, при x=1 имеем максимум функции, а при x=2 минимум.

Для нахождения экстремумов функции ( Y = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 8 ) необходимо найти критические точки, в которых первая производная функции равна нулю, и затем исследовать эти точки на наличие экстремумов (максимумов или минимумов).

1. Найдем первую производную функции:

[ Y' = \frac{d}{dx}(2x^3 - 9x^2 + 12x - 8) ]

Используем правила дифференцирования многочленов:

[ Y' = 6x^2 - 18x + 12 ]

1. Найдем критические точки, приравняв первую производную к нулю:

[ 6x^2 - 18x + 12 = 0 ]

Это квадратное уравнение, которое можно решить, используя либо разложение на множители, либо формулу решения квадратного уравнения. Воспользуемся формулой:

[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]

Где ( a = 6 ), ( b = -18 ), ( c = 12 ):

[ x = \frac{18 \pm \sqrt{(-18)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 12}}{2 \cdot 6} ]

[ x = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 288}}{12} ]

[ x = \frac{18 \pm \sqrt{36}}{12} ]

[ x = \frac{18 \pm 6}{12} ]

Получаем два корня:

[ x = \frac{18 + 6}{12} = 2 ]

[ x = \frac{18 - 6}{12} = 1 ]

Таким образом, критические точки: ( x = 1 ) и ( x = 2 ).

1. Исследуем критические точки на экстремумы:

Для этого найдем вторую производную функции и подставим в нее найденные критические точки:

[ Y'' = \frac{d}{dx}(6x^2 - 18x + 12) ]

[ Y'' = 12x - 18 ]

Подставим ( x = 1 ):

[ Y''(1) = 12 \cdot 1 - 18 = -6 ]

Поскольку ( Y''(1) < 0 ), точка ( x = 1 ) является точкой максимума.

Подставим ( x = 2 ):

[ Y''(2) = 12 \cdot 2 - 18 = 6 ]

Поскольку ( Y''(2) > 0 ), точка ( x = 2 ) является точкой минимума.

1. Найдем значения функции в этих точках:

Для ( x = 1 ):

[ Y(1) = 2(1)^3 - 9(1)^2 + 12(1) - 8 ]

[ Y(1) = 2 - 9 + 12 - 8 = -3 ]

Для ( x = 2 ):

[ Y(2) = 2(2)^3 - 9(2)^2 + 12(2) - 8 ]

[ Y(2) = 16 - 36 + 24 - 8 = -4 ]

Итак, функция ( Y = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 8 ) имеет:

• Максимум в точке ( x = 1 ) с значением ( Y(1) = -3 )
• Минимум в точке ( x = 2 ) с значением ( Y(2) = -4 )