Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины правого угла, делит гипотенузу на отрезки,...

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a и b, а гипотенуза равна c. Так как высота, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки 25 см и 9 см, то можем записать следующее:

(c = a + b)

(25 = \frac{a \cdot c}{c})

(9 = \frac{b \cdot c}{c})

Отсюда получаем систему уравнений:

(c = a + b)

(25 = \frac{a \cdot (a + b)}{c})

(9 = \frac{b \cdot (a + b)}{c})

Решив данную систему уравнений, найдем, что a = 15 см, b = 20 см, c = 25 см.

Теперь найдем площадь треугольника. Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле:

(S = \frac{a \cdot b}{2})

Подставив значения a = 15 см и b = 20 см, найдем:

(S = \frac{15 \cdot 20}{2} = 150) см²

Таким образом, стороны данного треугольника равны 15 см, 20 см и 25 см, а его площадь равна 150 см².

В прямоугольном треугольнике ABC, где угол C является прямым, высота CH, проведённая из вершины C на гипотенузу AB, делит её на два отрезка AH и HB длиной 25 см и 9 см соответственно. Нам нужно найти длины сторон этого треугольника и его площадь.

Шаг 1: Найти длину гипотенузы AB

Сумма отрезков AH и HB равна длине гипотенузы AB: [ AB = AH + HB = 25 + 9 = 34 \text{ см} ]

Шаг 2: Использовать свойства высоты в прямоугольном треугольнике

В прямоугольных треугольниках высота, проведённая из вершины прямого угла на гипотенузу, обладает следующим свойством: [ CH^2 = AH \cdot HB ]

Подставим известные значения: [ CH^2 = 25 \cdot 9 = 225 ]

Найдём CH: [ CH = \sqrt{225} = 15 \text{ см} ]

Шаг 3: Найти катеты с использованием теоремы Пифагора

В прямоугольном треугольнике также справедливы следующие соотношения для катетов, выраженные через высоту и отрезки гипотенузы:

1. ( AC^2 = AH \cdot AB )
2. ( BC^2 = HB \cdot AB )

Подставляем данные: [ AC^2 = 25 \cdot 34 ] [ AC^2 = 850 ] [ AC = \sqrt{850} \approx 29.15 \text{ см} ]

[ BC^2 = 9 \cdot 34 ] [ BC^2 = 306 ] [ BC = \sqrt{306} \approx 17.49 \text{ см} ]

Шаг 4: Найти площадь треугольника

Площадь прямоугольного треугольника можно найти как половину произведения его катетов: [ S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC ] [ S = \frac{1}{2} \cdot 29.15 \cdot 17.49 ] [ S \approx \frac{1}{2} \cdot 510 ] [ S \approx 255 \text{ см}^2 ]

Таким образом, стороны треугольника имеют длины приблизительно 29.15 см и 17.49 см, а его площадь составляет приблизительно 255 см².