Вычислите sin α,cos α,tg α, если ctg α= -5/12 , π/2

Для начала, давайте вспомним, что основные тригонометрические функции связаны между собой определёнными соотношениями. Если нам дано значение (\cot \alpha = -\frac{5}{12}), мы можем использовать это значение для нахождения других тригонометрических функций.

1. Нахождение sin α и cos α:

   Воспользуемся определением котангенса: [ \cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} ] Подставим известное значение: [ -\frac{5}{12} = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} ] Это означает, что (\cos \alpha = -5k) и (\sin \alpha = 12k) для некоторой константы (k).

2. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:

   [ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 ] Подставим наши выражения для (\cos \alpha) и (\sin \alpha): [ (12k)^2 + (-5k)^2 = 1 ] [ 144k^2 + 25k^2 = 1 ] [ 169k^2 = 1 ] [ k^2 = \frac{1}{169} ] [ k = \pm \frac{1}{13} ]

3. Подставим значение (k) обратно в наши выражения для (\sin \alpha) и (\cos \alpha):

   Если (k = \frac{1}{13}), то: [ \sin \alpha = 12k = 12 \cdot \frac{1}{13} = \frac{12}{13} ] [ \cos \alpha = -5k = -5 \cdot \frac{1}{13} = -\frac{5}{13} ]

   Если (k = -\frac{1}{13}), то: [ \sin \alpha = 12k = 12 \cdot -\frac{1}{13} = -\frac{12}{13} ] [ \cos \alpha = -5k = -5 \cdot -\frac{1}{13} = \frac{5}{13} ]

4. Определение правильного знака для (\sin \alpha) и (\cos \alpha):

   Поскольку (\cot \alpha) отрицателен, (\sin \alpha) и (\cos \alpha) должны иметь разные знаки (один положительный, другой отрицательный).

   Исходя из этого: [ \sin \alpha = \frac{12}{13}, \cos \alpha = -\frac{5}{13} ] или [ \sin \alpha = -\frac{12}{13}, \cos \alpha = \frac{5}{13} ]

5. Нахождение (\tan \alpha):

   [ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} ]

   Если (\sin \alpha = \frac{12}{13}) и (\cos \alpha = -\frac{5}{13}): [ \tan \alpha = \frac{\frac{12}{13}}{-\frac{5}{13}} = -\frac{12}{5} ]

   Если (\sin \alpha = -\frac{12}{13}) и (\cos \alpha = \frac{5}{13}): [ \tan \alpha = \frac{-\frac{12}{13}}{\frac{5}{13}} = -\frac{12}{5} ]

Таким образом, в обоих случаях (\tan \alpha = -\frac{12}{5}).

Итак, окончательные значения тригонометрических функций при (\cot \alpha = -\frac{5}{12}) будут следующими:

1. (\sin \alpha = \frac{12}{13}) и (\cos \alpha = -\frac{5}{13}) или (\sin \alpha = -\frac{12}{13}) и (\cos \alpha = \frac{5}{13})

2. (\tan \alpha = -\frac{12}{5})

В каком квадранте находится угол (\alpha), будет зависеть от знаков (\sin \alpha) и (\cos \alpha). Если (\sin \alpha) положителен, а (\cos \alpha) отрицателен, угол находится во втором квадранте. Если (\sin \alpha) отрицателен, а (\cos \alpha) положителен, угол находится в четвертом квадранте.

Для начала определим, что ctg(α) = -5/12. Поскольку ctg(α) = 1/tg(α), то tg(α) = -12/5.

Так как мы знаем, что α находится во второй четверти (π/2), то sin(α) и tg(α) будут отрицательными, а cos(α) положительным.

Известно, что sin^2(α) + cos^2(α) = 1. Подставляем sin(α) = -5/13 (отрицательно, так как α во второй четверти) и находим cos(α) = 12/13.

Поскольку tg(α) = sin(α) / cos(α), то tg(α) = -5/12 / 12/13 = -5/12 * 13/12 = -65/144.

Итак, sin(α) = -5/13, cos(α) = 12/13, tg(α) = -65/144.

sin α = 12/13 cos α = -5/13 tg α = -12/5