Вычислите площадь фигуры,ограниченной линиями: y=x^3 y=0 x=2
Вычислите площадь фигуры,ограниченной линиями: y=x^3 y=0 x=2
Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями ( y = x^3 ), ( y = 0 ) и ( x = 2 ), начнем с визуализации и понимания этих границ.
График функции ( y = x^3 ):
Линия ( y = 0 ):
Линия ( x = 2 ):
Теперь рассмотрим область, ограниченную этими линиями. Область ограничена функцией ( y = x^3 ) снизу, линией ( y = 0 ) сверху, и вертикальной линией ( x = 2 ) справа.
Площадь этой области можно вычислить, интегрируя функцию ( y = x^3 ) от ( x = 0 ) до ( x = 2 ).
Интеграл функции ( y = x^3 ) даст нам площадь под кривой от ( x = 0 ) до ( x = 2 ):
[ A = \int_{0}^{2} x^3 \, dx ]
Выполним интегрирование:
Найдём первообразную функции ( x^3 ): [ \int x^3 \, dx = \frac{x^4}{4} + C ]
Подставим пределы интегрирования от 0 до 2: [ A = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_0^2 ]
Посчитаем значения на границах: [ A = \left( \frac{2^4}{4} \right) - \left( \frac{0^4}{4} \right) ] [ A = \left( \frac{16}{4} \right) - 0 ] [ A = 4 ]
Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями ( y = x^3 ), ( y = 0 ) и ( x = 2 ), равна 4 квадратным единицам.
Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций y=x^3, y=0 и x=2, необходимо найти площадь под кривой функции y=x^3 между x=0 и x=2 и вычесть из нее площадь треугольника с вершинами в точках (2,0), (2,8) и (0,0).
Сначала найдем площадь под кривой функции y=x^3 между x=0 и x=2. Для этого необходимо найти определенный интеграл функции y=x^3 на отрезке [0,2]. После вычислений получаем:
∫[0,2] x^3 dx = [1/4 * x^4] [0,2] = 1/4 2^4 - 1/4 0 = 4
Теперь найдем площадь треугольника, который ограничен линиями x=2, y=0 и графиком функции y=x^3. Площадь треугольника равна:
S = 1/2 основание высота = 1/2 2 2^3 = 1/2 2 8 = 8
Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^3, y=0 и x=2, равна 4 - 8 = -4.
Ответ: площадь фигуры равна -4.
