Вычислите площадь фигуры ,ограниченной линиями y=-x^2+6x-5,y=0,x=1,x=3

Для вычисления площади фигуры, ограниченной данными линиями, необходимо найти точки их пересечения и провести соответствующие вычисления.

Сначала найдем точки пересечения обеих функций. Для этого приравняем уравнение параболы к нулю: -y = x^2 - 6x + 5 x^2 - 6x + 5 + y = 0 (x - 5)(x - 1) + y = 0

Таким образом, точки пересечения обеих функций будут x = 1 и x = 5.

Теперь, чтобы найти площадь фигуры между этими линиями, нужно найти интеграл от y = -x^2 + 6x - 5 от x = 1 до x = 3. Таким образом, площадь будет равна: ∫[1,3] (-x^2 + 6x - 5) dx

Вычислим этот интеграл: ∫[1,3] (-x^2 + 6x - 5) dx = [-x^3/3 + 3x^2 - 5x] [1,3] = [-(3^3)/3 + 33^2 - 53] - [-(1^3)/3 + 31^2 - 51] = [-9 + 27 - 15] - [-1 + 3 - 5] = 3

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = -x^2 + 6x - 5, y = 0, x = 1, x = 3 равна 3 квадратным единицам.

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой ( y = -x^2 + 6x - 5 ), осью ( y = 0 ) (ось ( x )), и вертикальными линиями ( x = 1 ) и ( x = 3 ), следуем следующему плану:

1. Определение границ интегрирования: Для вычисления площади под графиком функции между двумя значениями ( x ), используем определённый интеграл. В данном случае, границы интегрирования заданы как ( x = 1 ) и ( x = 3 ).

2. Интегрирование функции: Вычислим определённый интеграл от функции ( y = -x^2 + 6x - 5 ) по ( x ) от 1 до 3.

   [ \int_{1}^{3} (-x^2 + 6x - 5) \, dx ]

3. Вычисление интеграла: Найдём первообразную функцию для ( -x^2 + 6x - 5 ):

   [ \int (-x^2 + 6x - 5) \, dx = -\frac{x^3}{3} + 3x^2 - 5x + C ]

   Теперь вычислим определённый интеграл:

   [ \left[ -\frac{x^3}{3} + 3x^2 - 5x \right]_{1}^{3} ]

   Подставим пределы интегрирования:

   [ \left( -\frac{3^3}{3} + 3 \times 3^2 - 5 \times 3 \right) - \left( -\frac{1^3}{3} + 3 \times 1^2 - 5 \times 1 \right) ]

   Вычислим каждую часть:

   • Для ( x = 3 ):

     [ -\frac{27}{3} + 27 - 15 = -9 + 27 - 15 = 3 ]

   • Для ( x = 1 ):

     [ -\frac{1}{3} + 3 - 5 = -\frac{1}{3} + 3 - 5 = -\frac{1}{3} - 2 = -\frac{7}{3} ]

   Теперь найдём разность:

   [ 3 - \left(-\frac{7}{3}\right) = 3 + \frac{7}{3} = \frac{9}{3} + \frac{7}{3} = \frac{16}{3} ]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, равна (\frac{16}{3}) квадратных единиц.

Для вычисления площади фигуры, ограниченной данными линиями, необходимо найти интеграл от верхней функции до нижней по оси x в заданных пределах. В данном случае это будет:

∫[1,3] (-x^2 + 6x - 5) dx

Вычисляя этот интеграл, мы найдем площадь фигуры, ограниченной указанными линиями.