Вычислить значения cos a,tg a,ctg a,если sin a= 12/13

Дано, что sin a = 12/13.

Используя тригонометрическое тождество sin^2 a + cos^2 a = 1, можно найти значение cos a:

cos^2 a = 1 - sin^2 a cos^2 a = 1 - (12/13)^2 cos^2 a = 1 - 144/169 cos^2 a = 25/169 cos a = ±5/13 (так как cos a > 0 в первой и четвертой четвертях, где sin a > 0)

Теперь, чтобы найти значения tg a и ctg a, используем определения тангенса и котангенса в терминах синуса и косинуса:

tg a = sin a / cos a tg a = (12/13) / (5/13) tg a = 12/5

ctg a = cos a / sin a ctg a = (5/13) / (12/13) ctg a = 5/12

Итак, значения cos a, tg a и ctg a, если sin a = 12/13, равны соответственно: cos a = 5/13, tg a = 12/5 и ctg a = 5/12.

Для того чтобы вычислить значения косинуса, тангенса и котангенса угла ( \alpha ), зная синус этого угла, можно воспользоваться основными тригонометрическими идентичностями и свойствами. Известно, что ( \sin \alpha = \frac{12}{13} ).

Шаг 1: Найти косинус угла ( \alpha )

Используем основное тригонометрическое тождество: [ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 ]

Подставляем значение синуса: [ \left(\frac{12}{13}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1 ] [ \frac{144}{169} + \cos^2 \alpha = 1 ] [ \cos^2 \alpha = 1 - \frac{144}{169} ] [ \cos^2 \alpha = \frac{25}{169} ] [ \cos \alpha = \pm \frac{5}{13} ]

Знак косинуса зависит от того, в какой четверти находится угол ( \alpha ). Если угол находится в первой или четвертой четверти, косинус положительный, а если во второй или третьей – отрицательный. Без дополнительной информации о четверти мы можем предположить, что ( \cos \alpha = \frac{5}{13} ), предполагая, что угол находится в первой четверти.

Шаг 2: Найти тангенс угла ( \alpha )

Тангенс определяется как отношение синуса к косинусу: [ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} ] [ \tan \alpha = \frac{\frac{12}{13}}{\frac{5}{13}} ] [ \tan \alpha = \frac{12}{5} ]

Шаг 3: Найти котангенс угла ( \alpha )

Котангенс – это обратное значение тангенса: [ \cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} ] [ \cot \alpha = \frac{1}{\frac{12}{5}} ] [ \cot \alpha = \frac{5}{12} ]

Таким образом, значения тригонометрических функций для угла ( \alpha ), при условии, что ( \sin \alpha = \frac{12}{13} ), следующие:

• ( \cos \alpha = \frac{5}{13} ) (предполагая, что угол в первой четверти)
• ( \tan \alpha = \frac{12}{5} )
• ( \cot \alpha = \frac{5}{12} )