Вычислить предел функций: lim (х стремится к 5) x^2-8x+15/x^2-25

lim (x стремится к 5) x^2-8x+15/x^2-25 = lim (x стремится к 5) (x - 5)(x - 3)/(x - 5)(x + 5) = lim (x стремится к 5) (x - 3)/(x + 5) = 2/10 = 1/5.

Для вычисления данного предела можно воспользоваться методом преобразования выражения. Сначала раскроем скобки в числителе и знаменателе: x^2 - 8x + 15 = (x - 3)(x - 5), x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5). Теперь выражение примет вид (x - 3)(x - 5) / (x - 5)(x + 5). Очевидно, что x ≠ 5, так как в знаменателе получится 0. Далее упростим выражение, сократив (x - 5) в числителе и знаменателе. Получим (x - 3) / (x + 5). Теперь подставим x = 5 в упрощенное выражение: (5 - 3) / (5 + 5) = 2 / 10 = 1 / 5. Таким образом, предел функции при x стремящемся к 5 равен 1 / 5.

Чтобы вычислить предел функции (\lim_{x \to 5} \frac{x^2 - 8x + 15}{x^2 - 25}), сначала рассмотрим выражение в числителе и знаменателе.

1. Разложение на множители:

   • Числитель: (x^2 - 8x + 15). [ x^2 - 8x + 15 = (x - 5)(x - 3) ] Это квадратное уравнение, которое можно разложить на множители, найдя корни: (x = 5) и (x = 3).

   • Знаменатель: (x^2 - 25). [ x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5) ] Это разложение выполняется с использованием формулы разности квадратов: (a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)).

2. Подстановка и упрощение:

   Подставляем разложения в исходный предел: [ \lim{x \to 5} \frac{(x - 5)(x - 3)}{(x - 5)(x + 5)} ] Видно, что в числителе и знаменателе есть общий множитель ((x - 5)), который можно сократить, если (x \neq 5): [ \lim{x \to 5} \frac{x - 3}{x + 5} ]

3. Вычисление предела:

   Теперь, когда (x) стремится к 5, мы можем подставить значение в оставшееся выражение: [ \frac{5 - 3}{5 + 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} ]

Таким образом, предел функции равен (\frac{1}{5}).

Ответ: (\lim_{x \to 5} \frac{x^2 - 8x + 15}{x^2 - 25} = \frac{1}{5}).