Вычислить площадь фигуры,ограниченую линиями: y=x^2,y=корень из х

Для того чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^2 и y=√x, необходимо найти точки их пересечения.

Пересечение y=x^2 и y=√x: x^2 = √x x^4 = x x^4 - x = 0 x(x^3 - 1) = 0 x(x-1)(x^2+x+1)=0

Точки пересечения: x=0, x=1

Теперь необходимо найти площадь фигуры между этими точками. Для этого интегрируем функцию y = x^2 - √x от x=0 до x=1:

∫[0,1] (x^2 - √x) dx = [1/3 x^3 - 2/3 x^(3/2)] [0,1] = (1/3 - 2/3) - (0 - 0) = -1/3

Получаем, что площадь фигуры, ограниченной линиями y=x^2 и y=√x равна -1/3. Отрицательный результат говорит о том, что фигура не имеет физического смысла в данном контексте.

Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями ( y = x^2 ) и ( y = \sqrt{x} ), необходимо найти точки пересечения этих кривых и затем интегрировать разность функций в пределах этих точек.

1. Нахождение точек пересечения:

   Приравниваем функции: [ x^2 = \sqrt{x} ]

   Возведем обе части уравнения в квадрат для избавления от корня: [ x^4 = x ]

   Приведем уравнение к стандартному виду: [ x^4 - x = 0 ]

   Вынесем общий множитель: [ x(x^3 - 1) = 0 ]

   Разложим ( x^3 - 1 ) на множители: [ x(x - 1)(x^2 + x + 1) = 0 ]

   Таким образом, имеем корни: [ x = 0 \quad \text{и} \quad x = 1 ]

   Корни ( x^2 + x + 1 = 0 ) не имеют действительных решений, так как дискриминант отрицательный.

   Значит, точки пересечения — это ( x = 0 ) и ( x = 1 ).

2. Вычисление площади:

   Площадь между кривыми ( y = x^2 ) и ( y = \sqrt{x} ) можно выразить через интеграл разности этих функций от 0 до 1: [ A = \int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x^2) \, dx ]

   Разделим интеграл на два: [ A = \int{0}^{1} \sqrt{x} \, dx - \int{0}^{1} x^2 \, dx ]

   Вычислим каждый интеграл по отдельности.

   1. Интеграл от ( \sqrt{x} ): [ \int{0}^{1} \sqrt{x} \, dx = \int{0}^{1} x^{1/2} \, dx = \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_{0}^{1} = \frac{2}{3} ]

   2. Интеграл от ( x^2 ): [ \int{0}^{1} x^2 \, dx = \left[ \frac{1}{3} x^3 \right]{0}^{1} = \frac{1}{3} ]

   Теперь вычислим разность результатов интегралов: [ A = \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3} ]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями ( y = x^2 ) и ( y = \sqrt{x} ), равна ( \frac{1}{3} ) квадратных единиц.