Вычислить площадь фигуры ограниченой графика функции у=(х-2)^2 и прямыми х=0;у=0;х=3.

Для вычисления площади фигуры, ограниченной графиком функции ( y = (x-2)^2 ) и прямыми ( x = 0 ), ( y = 0 ) и ( x = 3 ), нужно найти интеграл функции ( y = (x-2)^2 ) от ( x = 0 ) до ( x = 3 ).

1. Определение функции и границ интегрирования:

   • Функция: ( y = (x-2)^2 )
   • Нижняя граница: ( x = 0 )
   • Верхняя граница: ( x = 3 )

2. Запись интеграла: Площадь под кривой ( y = (x-2)^2 ) от ( x = 0 ) до ( x = 3 ) можно найти с помощью определённого интеграла: [ \text{Площадь} = \int_{0}^{3} (x-2)^2 \, dx ]

3. Вычисление интеграла: Сначала раскроем квадратное выражение в подынтегральной функции: [ (x-2)^2 = x^2 - 4x + 4 ] Поэтому интеграл можно записать как: [ \int_{0}^{3} (x^2 - 4x + 4) \, dx ]

4. Интегрирование каждого члена: Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов этих функций: [ \int{0}^{3} x^2 \, dx - \int{0}^{3} 4x \, dx + \int_{0}^{3} 4 \, dx ]

   Теперь найдём каждый из этих интегралов по отдельности: [ \int{0}^{3} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]{0}^{3} = \left( \frac{3^3}{3} - \frac{0^3}{3} \right) = \left( \frac{27}{3} - 0 \right) = 9 ]

   [ \int{0}^{3} 4x \, dx = 4 \left[ \frac{x^2}{2} \right]{0}^{3} = 4 \left( \frac{3^2}{2} - \frac{0^2}{2} \right) = 4 \left( \frac{9}{2} - 0 \right) = 4 \cdot \frac{9}{2} = 18 ]

   [ \int{0}^{3} 4 \, dx = 4 \left[ x \right]{0}^{3} = 4 (3 - 0) = 4 \cdot 3 = 12 ]

5. Сложение результатов: Сложим полученные значения, учитывая знаки: [ 9 - 18 + 12 = 3 ]

Итак, площадь фигуры, ограниченной графиком функции ( y = (x-2)^2 ) и прямыми ( x = 0 ), ( y = 0 ) и ( x = 3 ), равна 3 квадратным единицам.

Для вычисления площади фигуры, ограниченной графиком функции у=(х-2)^2 и прямыми х=0, у=0, х=3, нужно разбить эту фигуру на части и вычислить площадь каждой из них.

Первым шагом можно найти точки пересечения графика функции у=(х-2)^2 с прямыми х=0, у=0, х=3. Для этого подставим значения х=0, х=3 в у=(х-2)^2 и найдем соответствующие значения у.

Получим следующие точки пересечения:

• (0,4) для х=0,
• (1,1) и (3,1) для х=3.

Затем можно разбить фигуру на две части: треугольник и фигуру, ограниченную графиком функции у=(х-2)^2 и отрезком между точками (1,1) и (3,1).

Площадь треугольника можно вычислить по формуле S = 0.5 a h, где a - основание треугольника (3-0=3), h - высота треугольника (1-0=1). Получаем S = 0.5 3 1 = 1.5.

Площадь фигуры между графиком функции у=(х-2)^2 и отрезком между точками (1,1) и (3,1) можно вычислить как интеграл функции у=(х-2)^2 на отрезке [1,3] и вычесть из него площадь треугольника. После вычислений получим S ≈ 1.833.

Итак, общая площадь фигуры, ограниченной графиком функции у=(х-2)^2 и прямыми х=0, у=0, х=3, равна приблизительно 3.333.