Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y= x^2 -2x +3 , y=3x- 1. ХЕЛПППППППППП

Для вычисления площади фигуры, ограниченной двумя кривыми, необходимо найти точки их пересечения и затем найти интеграл от разности этих функций по переменной x в пределах от одной точки пересечения до другой.

1. Найдем точки пересечения двух кривых: y = x^2 - 2x + 3 y = 3x - 1

Приравняем два уравнения: x^2 - 2x + 3 = 3x - 1 x^2 - 5x + 4 = 0 (x - 4)(x - 1) = 0

Отсюда получаем две точки пересечения x = 1 и x = 4.

1. Теперь найдем разность функций и возьмем ее модуль: f(x) = (3x - 1) - (x^2 - 2x + 3) = -x^2 + 5x - 4

2. Найдем интеграл от модуля разности функций по переменной x в пределах от x = 1 до x = 4: S = ∫[1,4] |-x^2 + 5x - 4| dx

S = ∫[1,4] (x^2 - 5x + 4) dx = [x^3/3 - 5x^2/2 + 4x] [1,4] S = [64/3 - 40/2 + 16] - [1/3 - 5/2 + 4] S = 64/3 - 20 + 16 - 1/3 + 5/2 - 4 S = 64/3 - 4 + 16 - 1/3 + 5/2 S = 52/3 + 30/6 - 1/3 S = 52/3 + 5 - 1/3 S = 157/3

Ответ: Площадь фигуры, ограниченной линиями y = x^2 - 2x + 3 и y = 3x - 1, равна 157/3.

Для нахождения площади фигуры, ограниченной двумя кривыми, необходимо сначала определить точки пересечения этих кривых. Давайте найдем точки пересечения кривых, заданных уравнениями ( y = x^2 - 2x + 3 ) и ( y = 3x - 1 ).

1. Решим уравнение ( x^2 - 2x + 3 = 3x - 1 ) для нахождения точек пересечения: [ x^2 - 2x + 3 = 3x - 1 ] [ x^2 - 5x + 4 = 0 ]

   Факторизуем квадратное уравнение: [ (x-4)(x-1) = 0 ] Отсюда получаем два корня: ( x = 4 ) и ( x = 1 ).

2. Подставим значения ( x ) в любое из уравнений (например, в ( y = 3x - 1 )) для получения соответствующих значений ( y ):

   • При ( x = 1 ): ( y = 3 \cdot 1 - 1 = 2 )
   • При ( x = 4 ): ( y = 3 \cdot 4 - 1 = 11 ) Таким образом, точки пересечения — это (1, 2) и (4, 11).

3. Для вычисления площади между кривыми воспользуемся интегралом от разности функций на интервале от 1 до 4: [ \text{Площадь} = \int{1}^{4} (3x - 1) - (x^2 - 2x + 3) \,dx ] [ = \int{1}^{4} (3x - 1 - x^2 + 2x - 3) \,dx ] [ = \int_{1}^{4} (-x^2 + 5x - 4) \,dx ]

4. Вычислим интеграл: [ \int (-x^2 + 5x - 4) \,dx = -\frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} - 4x ] Теперь подставим пределы интегрирования: [ \left[-\frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} - 4x \right]_1^4 ] [ = \left(-\frac{4^3}{3} + \frac{5 \cdot 4^2}{2} - 4 \cdot 4\right) - \left(-\frac{1^3}{3} + \frac{5 \cdot 1^2}{2} - 4 \cdot 1\right) ] [ = \left(-\frac{64}{3} + \frac{80}{2} - 16\right) - \left(-\frac{1}{3} + \frac{5}{2} - 4\right) ] [ = \left(-\frac{64}{3} + 40 - 16\right) - \left(-\frac{1}{3} + 2.5 - 4\right) ] [ = \left(-\frac{64}{3} + 24\right) - \left(-\frac{1}{3} - 1.5\right) ] [ = -\frac{64}{3} + 24 + \frac{1}{3} + 1.5 ] [ = -\frac{63}{3} + 25.5 ] [ = -21 + 25.5 = 4.5 ]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной данными кривыми, составляет 4.5 квадратных единиц.