Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y=x^2 и y=-3x.

Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями ( y = x^2 ) и ( y = -3x ), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти точки пересечения кривых. Решаем уравнение ( x^2 = -3x ): [ x^2 + 3x = 0 \quad \Rightarrow \quad x(x + 3) = 0. ] Отсюда ( x = 0 ) или ( x = -3 ).

2. Определить границы интегрирования. Точки пересечения ( x = 0 ) и ( x = -3 ) являются границами интегрирования.

3. Вычислить интеграл. Площадь между двумя кривыми находится как интеграл от разности верхней и нижней функции: [ S = \int{-3}^{0} \left((-3x) - (x^2)\right) \, dx. ] Выполним интегрирование: [ S = \int{-3}^{0} (-3x - x^2) \, dx = \left[-\frac{3}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3\right]_{-3}^{0}. ] Подставим пределы: [ S = \left(-\frac{3}{2} \cdot 0^2 - \frac{1}{3} \cdot 0^3\right) - \left(-\frac{3}{2} \cdot (-3)^2 - \frac{1}{3} \cdot (-3)^3\right) ] [ = 0 - \left(-\frac{3}{2} \cdot 9 + \frac{1}{3} \cdot (-27)\right) ] [ = 0 - \left(-13.5 + 9\right) ] [ = 0 - (-4.5) = 4.5. ]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями ( y = x^2 ) и ( y = -3x ), равна 4.5 квадратных единиц.

Для того чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной этими двумя кривыми, необходимо найти точки их пересечения. Для этого приравняем уравнения к друг другу:

x^2 = -3x.

Получаем квадратное уравнение:

x^2 + 3x = 0.

Факторизуем его:

x(x + 3) = 0.

Отсюда получаем два корня:

x = 0 и x = -3.

Подставляем найденные значения обратно в уравнения, чтобы найти соответствующие значения y:

Для x = 0:

y = 0^2 = 0.

Для x = -3:

y = (-3)^2 = 9.

Таким образом, точки пересечения кривых y=x^2 и y=-3x это (0,0) и (-3,9).

Далее, чтобы найти площадь фигуры, ограниченной этими кривыми, нужно взять определенный интеграл от разности этих функций на интервале от x = -3 до x = 0:

S = ∫[0,-3] ((-3x) - x^2) dx.

S = ∫[-3,0] (-3x - x^2) dx.

S = ∫[-3,0] (-3x - x^2) dx = [-3/2x^2 - (1/3)x^3] |[-3,0].

Проведя вычисления, получим:

S = 9/2.

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривыми y=x^2 и y=-3x, равна 9/2 или 4.5.