Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями y=3x-x^2 x=1 x=2 и осью Ох. Если можно график ещё

Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями ( y = 3x - x^2 ), ( x = 1 ), ( x = 2 ) и осью ( OX ), воспользуемся методом интегрирования.

1. Определение функции и пределов интегрирования:

   • Линия ( y = 3x - x^2 ) представляет собой параболу, которая открывается вниз.
   • Линии ( x = 1 ) и ( x = 2 ) задают вертикальные границы отрезка на оси ( x ).
   • Ось ( OX ) служит нижней границей для вычисления площади.

2. Вычисление интеграла: Для нахождения площади, необходимо вычислить определённый интеграл функции ( y = 3x - x^2 ) от ( x = 1 ) до ( x = 2 ): [ \text{Площадь} = \int_{1}^{2} (3x - x^2) \, dx ]

3. Вычисление интеграла: Применим основные правила интегрирования: [ \int (3x - x^2) \, dx = \int 3x \, dx - \int x^2 \, dx ] [ = 3 \int x \, dx - \int x^2 \, dx ] [ = 3 \left( \frac{x^2}{2} \right) - \left( \frac{x^3}{3} \right) ] [ = \frac{3x^2}{2} - \frac{x^3}{3} ]

4. Подстановка пределов интегрирования: Подставим пределы ( 1 ) и ( 2 ) в полученное выражение: [ \left[ \frac{3x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{2} ] Сначала подставим верхний предел ( x = 2 ): [ \frac{3(2^2)}{2} - \frac{2^3}{3} = \frac{3 \cdot 4}{2} - \frac{8}{3} = 6 - \frac{8}{3} = 6 - 2.\overline{66} = 6 - 2.67 = 3.33 ]

   Теперь подставим нижний предел ( x = 1 ): [ \frac{3(1^2)}{2} - \frac{1^3}{3} = \frac{3 \cdot 1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3}{2} - \frac{1}{3} = 1.5 - 0.33 = 1.17 ]

5. Разность значений интеграла: Найдём разность значений, чтобы получить площадь: [ 3.33 - 1.17 = 2.16 ]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями ( y = 3x - x^2 ), ( x = 1 ), ( x = 2 ) и осью ( OX ), равна ( 2.16 ) квадратных единиц.

График: Для большей наглядности приведём график функции ( y = 3x - x^2 ) и покажем область интегрирования.

y
|
|                               *
|                          *
|                     *
|                 *                  Фигура ограниченная значениями x=1 и x=2
|             *
|         *
|     *
|__
|  |     |______|______|______|______|_____ x
     0      1      2      3

На графике показана парабола ( y = 3x - x^2 ), ограниченная вертикальными линиями ( x = 1 ) и ( x = 2 ) и осью ( OX ). Область под кривой между этими линиями и осью ( OX ) представляет собой искомую площадь.

Для вычисления площади фигуры ограниченной указанными линиями и осью Ох нужно найти интеграл функции y=3x-x^2 в пределах от x=1 до x=2. График данной функции выглядит как парабола, проходящая через точки (1,2) и (2,2).

Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y=3x-x^2, x=1, x=2 и осью Ох, нужно найти точки пересечения кривой y=3x-x^2 с вертикальными линиями x=1 и x=2.

Сначала найдем точки пересечения с осью Ох, подставив y=0 в уравнение кривой: 0 = 3x - x^2 x^2 = 3x x(x-3) = 0 x = 0 или x = 3

Таким образом, кривая пересекает ось Ох в точках (0, 0) и (3, 0). Далее найдем точки пересечения с вертикальными линиями x=1 и x=2. Подставляя x=1 и x=2 в уравнение кривой, получаем точки пересечения (1, 2) и (2, 4).

Теперь построим график кривой y=3x-x^2 и отметим точки пересечения:

(0, 0) - точка пересечения с осью Ох (1, 2) - точка пересечения с x=1 (2, 4) - точка пересечения с x=2 (3, 0) - точка пересечения с осью Ох

Далее, чтобы найти площадь фигуры, ограниченной кривой и указанными линиями, нужно найти площадь между кривой и осью Ох на каждом отрезке [0, 1], [1, 2], [2, 3]. Эту площадь можно найти с помощью определенного интеграла:

S = ∫[1, 2] (3x-x^2)dx + ∫[2, 3] (3x-x^2)dx

Вычислив данные интегралы, мы найдем площадь фигуры, ограниченной данными линиями и кривой y=3x-x^2.