Вид дифференциального уравнения y' + 4y - 2 = 0

Данное дифференциальное уравнение представляет собой линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Для его решения можно воспользоваться методом разделения переменных.

Сначала выразим y' через y: y' = 2 - 4y. Подставим это выражение в исходное уравнение: 2 - 4y + 4y - 2 = 0, что равносильно 0 = 0. Таким образом, уравнение выполняется для любого значения y, что означает, что решением уравнения является произвольная функция y(x) = C, где C - произвольная постоянная.

Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид y(x) = C, где C - произвольная постоянная.

Это дифференциальное уравнение первого порядка и первого типа, которое можно классифицировать как линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Для его решения можно воспользоваться различными методами, но наиболее распространенный метод — метод интегрирующего множителя.

Рассмотрим уравнение: [ y' + 4y - 2 = 0. ]

Сначала преобразуем его в стандартную форму линейного дифференциального уравнения: [ y' + 4y = 2. ]

Обозначим: [ P(x) = 4 \quad \text{и} \quad Q(x) = 2. ]

Метод интегрирующего множителя заключается в нахождении функции (\mu(x)), которая умножается на обе стороны уравнения для упрощения его решения. Интегрирующий множитель (\mu(x)) для линейного уравнения первого порядка определяется как: [ \mu(x) = e^{\int P(x) \, dx}. ]

В данном случае: [ P(x) = 4, ] поэтому: [ \mu(x) = e^{\int 4 \, dx} = e^{4x}. ]

Умножим исходное уравнение на (\mu(x)): [ e^{4x} y' + 4e^{4x} y = 2e^{4x}. ]

Левую часть уравнения можно записать как производную произведения: [ \frac{d}{dx} \left( e^{4x} y \right) = 2e^{4x}. ]

Теперь проинтегрируем обе части уравнения: [ \int \frac{d}{dx} \left( e^{4x} y \right) \, dx = \int 2e^{4x} \, dx. ]

Левая часть интегрируется просто: [ e^{4x} y = \int 2e^{4x} \, dx. ]

Правая часть интегрируется следующим образом: [ \int 2e^{4x} \, dx = \frac{2}{4} e^{4x} + C = \frac{1}{2} e^{4x} + C, ] где (C) — произвольная постоянная интегрирования.

Таким образом, получаем: [ e^{4x} y = \frac{1}{2} e^{4x} + C. ]

Разделим обе части уравнения на (e^{4x}): [ y = \frac{1}{2} + Ce^{-4x}. ]

Итак, общее решение дифференциального уравнения: [ y = \frac{1}{2} + Ce^{-4x}, ] где (C) — произвольная постоянная.

Таким образом, мы решили линейное дифференциальное уравнение первого порядка методом интегрирующего множителя и получили общее решение.