Вдоль окружности по порядку расставили натуральные числа от 1 до 100. Затем двигаясь по окружности,...

Эта задача является классическим примером задачи Иосифа Флавия $Josephusproblem$, в которой определенное количество людей $иличисел$ стоят в круге и каждый k-й человек $иличисло$ исключается до тех пор, пока не останется только один.

Для данной задачи, у нас есть 100 чисел, расположенных по порядку вдоль окружности, и мы вычеркиваем каждое второе число $k=2$. Задача состоит в том, чтобы найти, какое число останется последним.

Рассмотрим решение задачи Иосифа Флавия для общего случая. Пусть $n$ — общее количество элементов $внашемслучае(n=100$), и $k$ — шаг вычеркивания $внашемслучае(k=2$). Обозначим через $J(n,k$) позицию того элемента, который останется последним. Для $k=2$, и $n$ элементов, можно использовать формулу:

$J(n)=(J(n-1)+k)\mathrm{mod}n$

где $J(n-1$) — решение для $n-1$ элементов.

Однако, для $k=2$ существует более прямая формула:

$J(n,2)=1+2\times (n-2^{\lfloor {\log }_{2}n\rfloor })$

Здесь $\lfloor {\log }_{2}n\rfloor$ обозначает целую часть от логарифма $n$ по основанию 2.

Рассчитаем это для $n=100$:

1. Найдем $\lfloor {\log }_{2}100\rfloor$: ${\log }_{2}100\approx 6.644$ $\lfloor 6.644\rfloor =6$

2. Вычислим $2^6=64$.

3. Подставим в формулу: $J(100,2)=1+2\times (100-64)$ $J(100,2)=1+2\times 36$ $J(100,2)=1+72$ $J(100,2)=73$

Таким образом, после вычеркивания каждого второго числа из последовательности чисел от 1 до 100, последним оставшимся числом будет 73.

Останется число 73.

Для решения этой задачи нужно выяснить, какие числа будут оставаться после каждого шага вычеркивания. После первого шага останутся все нечетные числа. После второго шага останутся числа, которые делятся на 4 без остатка. После третьего шага останутся числа, которые делятся на 8 без остатка, и так далее.

Поскольку у нас всего 100 чисел, последнее оставшееся число будет тем, которое делится на наибольшую степень двойки, меньшую или равную 100. Наибольшая степень двойки, не превышающая 100, равна 64. Следовательно, после всех шагов останется число 64.