Вася разрезал прямоугольник на несколько прямоугольников,периметр каждого из которых-целое число см.Верно ли,что периметр исходного прямоугольника-тоже целое число см?Если да,то докажите это,если нет,то приведите опровергающий пример.Помогите решить с пояснениями(заранее спасибо)!
Да, периметр исходного прямоугольника также будет целым числом см. Рассмотрим прямоугольник со сторонами a и b. Периметр такого прямоугольника равен 2a + 2b, что является суммой двух целых чисел. После разрезания прямоугольника на несколько прямоугольников с целыми периметрами, сумма периметров этих прямоугольников также будет целым числом. Таким образом, периметр исходного прямоугольника также будет целым числом.
Для доказательства того, что периметр исходного прямоугольника также является целым числом, давайте рассмотрим следующее:
Пусть исходный прямоугольник имеет стороны a и b. Тогда его периметр равен 2a + 2b.
Когда мы разрезаем исходный прямоугольник на несколько прямоугольников, периметр каждого из них также будет целым числом. Пусть периметры этих новых прямоугольников равны p1, p2, ., pn.
Тогда сумма периметров всех новых прямоугольников будет равна p1 + p2 + . + pn. Но по условию задачи эта сумма также является целым числом.
Так как мы разрезаем исходный прямоугольник на данные новые прямоугольники, то периметр исходного прямоугольника равен сумме периметров всех новых прямоугольников, то есть 2a + 2b = p1 + p2 + . + pn, что также является целым числом.
Таким образом, периметр исходного прямоугольника также является целым числом.
Опровергающий пример: возьмем исходный прямоугольник со сторонами 2 см и 3 см. Периметр данного прямоугольника будет равен 22 + 23 = 10 см. Если разрезать его на два прямоугольника со сторонами 2 см и 3 см, то периметры новых прямоугольников будут равны 22 + 23 = 10 см и 23 + 22 = 10 см, но сумма периметров этих новых прямоугольников не является целым числом, так как она равна 20 см, что не делится нацело на 2.
Да, утверждение верно: если Вася разрезал прямоугольник на несколько прямоугольников, периметр каждого из которых - целое число сантиметров, то периметр исходного прямоугольника тоже будет целым числом сантиметров. Давайте разберёмся, почему это так.
Определение периметра: Периметр прямоугольника определяется как сумма длин всех его сторон. Для прямоугольника со сторонами длиной (a) и (b) периметр равен (2a + 2b).
Разбиение прямоугольника: Предположим, что у нас есть исходный прямоугольник, который мы разрезали на несколько прямоугольников. Для каждого из этих маленьких прямоугольников периметр также будет равен сумме длин его сторон.
Влияние на границы: При разрезании большого прямоугольника на меньшие, каждая разрезанная линия становится частью границы одного прямоугольника и частью границы другого. Это значит, что внутренние линии, которые разделяют прямоугольники, не добавляют к периметру исходного прямоугольника — они компенсируются между соседними прямоугольниками.
Целостность границы: Граница исходного прямоугольника состоит только из его внешних сторон, которые остаются неизменными при разрезании. Таким образом, периметр исходного прямоугольника равен сумме длин его внешних сторон.
Целочисленность периметра: Так как периметр каждого из получившихся прямоугольников является целым числом, и внутренние разрезы не влияют на целостность внешней границы, периметр исходного прямоугольника тоже будет целым числом.
Таким образом, разбиение прямоугольника на части с целочисленными периметрами не изменяет целочисленности периметра исходного прямоугольника. Это связано с тем, что конечный периметр определяется исключительно внешними сторонами, которые остаются целыми числами.
Следовательно, утверждение верно: периметр исходного прямоугольника тоже будет целым числом сантиметров.
