В урне содержится 8 черных и 6 белых шаров. Случайным образом вынимают 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них имеется: а) 3 белых шаров; б) меньше, чем 3 белых шаров; в) хотя бы один белый шар.
В урне содержится 8 черных и 6 белых шаров. Случайным образом вынимают 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них имеется: а) 3 белых шаров; б) меньше, чем 3 белых шаров; в) хотя бы один белый шар.
а) Вероятность вытащить 3 белых шара из 5: ( \frac{C{6}^{3} \cdot C{8}^{2}}{C{14}^{5}} \approx 0.229 ) б) Вероятность вытащить меньше 3 белых шаров из 5: ( \frac{C{6}^{0} \cdot C{8}^{5} + C{6}^{1} \cdot C{8}^{4} + C{6}^{2} \cdot C{8}^{3}}{C{14}^{5}} \approx 0.401 ) в) Вероятность вытащить хотя бы один белый шар из 5: 1 - Вероятность вытащить 0 белых шаров из 5: (1 - \frac{C{6}^{0} \cdot C{8}^{5}}{C_{14}^{5}} \approx 0.999 )
Для решения данной задачи посчитаем общее количество способов вынуть 5 шаров из урны, а затем посчитаем количество благоприятных исходов для каждого случая.
а) Вероятность того, что среди 5 вынутых шаров окажется ровно 3 белых, можно найти по формуле сочетаний. Общее количество способов вынуть 5 шаров из 14 равно C(14,5) = 2002. Количество благоприятных исходов, когда среди 5 шаров 3 белых, равно произведению количества способов выбрать 3 белых из 6 и 2 черных из 8, то есть C(6,3) C(8,2) = 20 28 = 560. Таким образом, вероятность того, что среди 5 шаров окажется ровно 3 белых, равна 560/2002 ≈ 0.2797.
б) Вероятность того, что среди 5 вынутых шаров меньше 3 белых можно найти, вычислив вероятности того, что будет 0, 1 или 2 белых шара и сложив их.
в) Вероятность того, что среди 5 вынутых шаров будет хотя бы один белый можно найти, вычислив вероятность противоположного события (что все шары будут черные) и вычтя ее из 1. Вероятность того, что все 5 шаров будут черные: C(8,0) C(6,5) / C(14,5) = 1 6 / 2002 = 0.0030. Тогда вероятность того, что хотя бы один шар будет белым: 1 - 0.0030 ≈ 0.9970.
Таким образом, вероятность каждого из указанных событий равна: а) 0.2797 б) 0.4475 в) 0.9970
Чтобы решить эту задачу, нужно использовать сочетания и теорию вероятностей. Давайте разберем каждую часть вопроса отдельно.
В урне всего 14 шаров: 8 черных и 6 белых. Мы выбираем 5 шаров.
Общее количество способов выбрать 5 шаров из 14: [ C(14, 5) = \frac{14!}{5!(14-5)!} = \frac{14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 2002 ]
Чтобы среди 5 выбранных шаров было 3 белых, нам нужно выбрать 3 белых из 6 и 2 черных из 8.
Количество способов выбрать 3 белых из 6: [ C(6, 3) = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20 ]
Количество способов выбрать 2 черных из 8: [ C(8, 2) = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28 ]
Общее количество благоприятных исходов: [ C(6, 3) \times C(8, 2) = 20 \times 28 = 560 ]
Вероятность: [ P(\text{3 белых}) = \frac{560}{2002} \approx 0.2797 ]
Это событие включает 0, 1 или 2 белых шара. Посчитаем каждое:
Все 5 шаров черные: [ C(8, 5) = \frac{8!}{5!(8-5)!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56 ]
1 белый из 6 и 4 черных из 8: [ C(6, 1) \times C(8, 4) = 6 \times 70 = 420 ]
2 белых из 6 и 3 черных из 8: [ C(6, 2) \times C(8, 3) = 15 \times 56 = 840 ]
Общее количество благоприятных исходов: [ 56 + 420 + 840 = 1316 ]
Вероятность: [ P(\text{меньше 3 белых}) = \frac{1316}{2002} \approx 0.6573 ]
Это противоположное событие к событию "0 белых шаров", которое мы уже посчитали. Вероятность "хотя бы один белый шар" равна (1) минус вероятность "0 белых шаров".
Вероятность "0 белых шаров": [ P(\text{0 белых}) = \frac{56}{2002} \approx 0.0280 ]
Вероятность "хотя бы один белый": [ P(\text{хотя бы один белый}) = 1 - 0.0280 = 0.9720 ]
Таким образом, мы получили следующие вероятности:
