В урне имеется пять шаров с номерами от 1 до 5. Наудачу по одному извлекают три шара без возвращения. Найти вероятности следующих событий: а) последовательно появятся шары с номерами 1, 4, 5; б) извлеченные шары будут иметь номера I, 4, 5 независимо от того, в какой последовательности они появились.
а) Для нахождения вероятности того, что последовательно появятся шары с номерами 1, 4, 5, найдем общее число благоприятных исходов и общее число возможных исходов.
Общее число возможных исходов - это количество способов извлечь 3 шара из 5, что равно 5!/(3!*2!) = 10.
Общее число благоприятных исходов - это количество способов извлечь шары с номерами 1, 4, 5, что равно 3! = 6.
Таким образом, вероятность того, что последовательно появятся шары с номерами 1, 4, 5, равна 6/10 = 0.6.
б) Для нахождения вероятности того, что извлеченные шары будут иметь номера 1, 4, 5 независимо от последовательности их появления, найдем общее число благоприятных исходов и общее число возможных исходов.
Общее число возможных исходов остается таким же - 10.
Общее число благоприятных исходов - это количество способов выбрать 3 шара из 5 с номерами 1, 4, 5, что равно C(3,3) = 1.
Таким образом, вероятность того, что извлеченные шары будут иметь номера 1, 4, 5 независимо от последовательности, равна 1/10 = 0.1.
Рассмотрим задачу по шагам, чтобы найти вероятности событий.
У нас есть урна, содержащая пять шаров с номерами от 1 до 5. Из урны случайным образом извлекаются три шара без возвращения. Найти вероятности следующих событий: а) последовательно появятся шары с номерами 1, 4, 5; б) извлеченные шары будут иметь номера 1, 4, 5 независимо от того, в какой последовательности они появились.
Для начала определим вероятность того, что шары с номерами 1, 4 и 5 будут извлечены последовательно в указанном порядке.
Вероятность извлечения шара с номером 1 на первом шаге: Поскольку все шары одинаково вероятно могут быть извлечены, вероятность извлечения шара с номером 1 на первом шаге составляет: [ P(\text{1-й шар}) = \frac{1}{5} ]
Вероятность извлечения шара с номером 4 на втором шаге: После извлечения первого шара в урне остаются 4 шара. Вероятность того, что на втором шаге будет извлечен шар с номером 4, равна: [ P(\text{4-й шар}) = \frac{1}{4} ]
Вероятность извлечения шара с номером 5 на третьем шаге: После извлечения двух шаров в урне остаются 3 шара. Вероятность того, что на третьем шаге будет извлечен шар с номером 5, равна: [ P(\text{5-й шар}) = \frac{1}{3} ]
Так как эти события независимы, общая вероятность того, что шары будут извлечены в порядке 1, 4, 5, равна произведению вероятностей отдельных событий: [ P(\text{1, 4, 5}) = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{60} ]
Теперь найдем вероятность того, что шары с номерами 1, 4 и 5 будут извлечены в любом порядке.
Общее число возможных комбинаций извлечения 3 шаров из 5: Комбинации выбираются без учета порядка, поэтому используем биномиальный коэффициент: [ C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = 10 ]
Число благоприятных исходов: У нас есть выбранные шары 1, 4 и 5. Порядок их извлечения не важен, поэтому возможные перестановки этих шаров: [ 3! = 6 ]
Вероятность благоприятного исхода: Так как из 10 возможных комбинаций 6 являются благоприятными, вероятность того, что шары 1, 4 и 5 будут извлечены в любом порядке: [ P(\text{1, 4, 5 в любом порядке}) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} ]
а) Вероятность того, что шары будут извлечены в порядке 1, 4, 5, равна (\frac{1}{60}).
б) Вероятность того, что шары 1, 4 и 5 будут извлечены в любом порядке, равна (\frac{3}{5}).
а) Вероятность того, что последовательно появятся шары с номерами 1, 4, 5, равна (1/5) (1/4) (1/3) = 1/60.
б) Вероятность того, что извлеченные шары будут иметь номера 1, 4, 5 независимо от последовательности, равна 3!/(543) = 1/10.
