В треугольнике АВС угол С равен 90 градусов ,sin А = корень из 15 деленный на 4, Найдите cos A

Давайте решим задачу, используя тригонометрические свойства прямоугольного треугольника.

В треугольнике (ABC) угол (C) равен (90) градусов. Это означает, что треугольник является прямоугольным, и мы можем использовать тригонометрические функции синуса и косинуса для угла (A).

Нам дано, что (\sin A = \frac{\sqrt{15}}{4}).

Первым шагом найдем (\cos A) с использованием основного тригонометрического тождества для прямоугольного треугольника: [ \sin^2 A + \cos^2 A = 1 ]

Подставим (\sin A = \frac{\sqrt{15}}{4}) в это тождество: [ \left(\frac{\sqrt{15}}{4}\right)^2 + \cos^2 A = 1 ]

Вычислим (\left(\frac{\sqrt{15}}{4}\right)^2): [ \left(\frac{\sqrt{15}}{4}\right)^2 = \frac{15}{16} ]

Подставим это значение в основное тригонометрическое тождество: [ \frac{15}{16} + \cos^2 A = 1 ]

Теперь выразим (\cos^2 A): [ \cos^2 A = 1 - \frac{15}{16} ]

Приведем (1) к общему знаменателю: [ 1 = \frac{16}{16} ]

Тогда у нас получится: [ \cos^2 A = \frac{16}{16} - \frac{15}{16} = \frac{1}{16} ]

Теперь найдем (\cos A): [ \cos A = \pm \sqrt{\frac{1}{16}} = \pm \frac{1}{4} ]

В прямоугольном треугольнике угол (A) является острым, поэтому (\cos A) должен быть положительным: [ \cos A = \frac{1}{4} ]

Таким образом, (\cos A = \frac{1}{4}).

Для решения данной задачи мы можем воспользоваться теоремой Пифагора, так как у нас дан прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора мы знаем, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Таким образом, у нас имеется следующее уравнение: AB^2 = AC^2 + BC^2

Также известно, что sin A = AC / AB = √15 / 4. После нахождения гипотенузы и катета мы можем найти cos A, так как cos A = BC / AB.

Для начала найдем длину гипотенузы AB: sin A = √15 / 4 AC / AB = √15 / 4 AC = √15 / 4 * AB

Подставим AC в уравнение Пифагора: AB^2 = ( √15 / 4 AB )^2 + BC^2 AB^2 = 15 / 16 AB^2 + BC^2 AB^2 - 15 / 16 AB^2 = BC^2 AB^2(1 - 15 / 16) = BC^2 AB^2 1 / 16 = BC^2 AB^2 = 16 * BC^2

Теперь найдем длину катета BC: AB^2 = 16 * BC^2 AB^2 / 16 = BC^2 BC = √(AB^2 / 16) BC = √(AB^2) / √16 BC = AB / 4

Теперь мы можем найти cos A: cos A = BC / AB = AB / 4 / AB = 1 / 4

Таким образом, cos A равен 1 / 4.