В трапеции длина одной из диагоналей равна сумме длин оснований, а угол между диагоналями равен 60°.Докажите,...

Для доказательства того, что трапеция равнобедренная, обозначим основания трапеции как a и b, а диагональ - как d. Также обозначим угол между диагоналями как α.

Из условия задачи мы имеем: d = a + b (1) α = 60° (2)

Так как угол между диагоналями равен 60°, то диагонали трапеции являются смежными. Поэтому можем воспользоваться косинусной теоремой для треугольника с диагоналями в качестве сторон:

d² = a² + b² - 2ab·cosα

Подставляем из условия (1) и (2):

(a + b)² = a² + b² - 2ab·cos60° a² + 2ab + b² = a² + b² - ab 2ab = 0

Отсюда видно, что a = b. Таким образом, доказано, что трапеция равнобедренная.

Для того чтобы доказать, что трапеция равнобедренная, начнем с анализа условий задачи. Назовем трапецию (ABCD), где (AB) и (CD) — основания трапеции ((AB \parallel CD)), а (AD) и (BC) — боковые стороны. Пусть (AB = a), (CD = b). По условию, одна из диагоналей равна сумме длин оснований, поэтому предположим, что (AC = a + b). Также угол между диагоналями ( \angle ACD = 60^\circ ).

Для доказательства воспользуемся свойствами трапеции и тригонометрией.

1. Используем закон косинусов для треугольника (ACD):

   [ AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos( \angle ACD ) ]

   Подставим известные значения:

   [ (a + b)^2 = AD^2 + b^2 - 2 \cdot AD \cdot b \cdot \cos(60^\circ) ]

   Поскольку (\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}), уравнение упрощается:

   [ (a + b)^2 = AD^2 + b^2 - AD \cdot b ]

2. Рассмотрим другой треугольник (ABC) и используем тот же закон косинусов:

   [ AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos( \angle BAC ) ]

   Здесь также подставим известные значения:

   [ (a + b)^2 = a^2 + BC^2 - 2 \cdot a \cdot BC \cdot \cos(60^\circ) ]

   Опять же, (\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}), и уравнение упрощается:

   [ (a + b)^2 = a^2 + BC^2 - a \cdot BC ]

3. Рассмотрим равенства для обеих диагоналей:

   Мы получили два уравнения:

   [ (a + b)^2 = AD^2 + b^2 - AD \cdot b ]

   [ (a + b)^2 = a^2 + BC^2 - a \cdot BC ]

4. Упрощение уравнений:

   Разложим левую часть уравнений:

   [ a^2 + 2ab + b^2 = AD^2 + b^2 - AD \cdot b ]

   [ a^2 + 2ab + b^2 = a^2 + BC^2 - a \cdot BC ]

   Упростим каждое уравнение:

   [ 2ab = AD^2 - AD \cdot b ]

   [ 2ab = BC^2 - a \cdot BC ]

5. Сравнение боковых сторон:

   Из первого уравнения выразим (AD):

   [ AD^2 - AD \cdot b - 2ab = 0 ]

   Решим это квадратное уравнение относительно (AD):

   [ AD = \frac{b + \sqrt{b^2 + 8ab}}{2} ]

   Аналогично из второго уравнения выразим (BC):

   [ BC^2 - BC \cdot a - 2ab = 0 ]

   Решим это квадратное уравнение относительно (BC):

   [ BC = \frac{a + \sqrt{a^2 + 8ab}}{2} ]

6. Сравнение выражений для боковых сторон:

   Поскольку (AD) и (BC) выражены через те же переменные (a) и (b) и условия задачи симметричны, можно заключить, что (AD = BC).

Таким образом, боковые стороны трапеции равны, что доказывает, что трапеция (ABCD) является равнобедренной.