В трапеции длина одной из диагоналей равна сумме длин оснований, а угол между диагоналями равен 60°.Докажите,...

Для доказательства того, что трапеция равнобедренная, обозначим основания трапеции как a и b, а диагональ - как d. Также обозначим угол между диагоналями как α.

Из условия задачи мы имеем: d = a + b $1$ α = 60° $2$

Так как угол между диагоналями равен 60°, то диагонали трапеции являются смежными. Поэтому можем воспользоваться косинусной теоремой для треугольника с диагоналями в качестве сторон:

d² = a² + b² - 2ab·cosα

Подставляем из условия $1$ и $2$:

$a+b$² = a² + b² - 2ab·cos60° a² + 2ab + b² = a² + b² - ab 2ab = 0

Отсюда видно, что a = b. Таким образом, доказано, что трапеция равнобедренная.

Для того чтобы доказать, что трапеция равнобедренная, начнем с анализа условий задачи. Назовем трапецию $ABCD$, где $AB$ и $CD$ — основания трапеции $(AB\parallel CD$), а $AD$ и $BC$ — боковые стороны. Пусть $AB=a$, $CD=b$. По условию, одна из диагоналей равна сумме длин оснований, поэтому предположим, что $AC=a+b$. Также угол между диагоналями $\mathrm{\angle }ACD={60}^{\circ }$.

Для доказательства воспользуемся свойствами трапеции и тригонометрией.

1. Используем закон косинусов для треугольника $ACD$:

   $A{C}^2=A{D}^2+C{D}^2-2\cdot AD\cdot CD\cdot \cos (\mathrm{\angle }ACD)$

   Подставим известные значения:

   $(a+b{)}^2=A{D}^2+b^2-2\cdot AD\cdot b\cdot \cos ({60}^{\circ })$

   Поскольку $\cos ({60}^{\circ }$ = \frac{1}{2}), уравнение упрощается:

   $(a+b{)}^2=A{D}^2+b^2-AD\cdot b$

2. Рассмотрим другой треугольник $ABC$ и используем тот же закон косинусов:

   $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos (\mathrm{\angle }BAC)$

   Здесь также подставим известные значения:

   $(a+b{)}^2=a^2+B{C}^2-2\cdot a\cdot BC\cdot \cos ({60}^{\circ })$

   Опять же, $\cos ({60}^{\circ }$ = \frac{1}{2}), и уравнение упрощается:

   $(a+b{)}^2=a^2+B{C}^2-a\cdot BC$

3. Рассмотрим равенства для обеих диагоналей:

   Мы получили два уравнения:

   $(a+b{)}^2=A{D}^2+b^2-AD\cdot b$

   $(a+b{)}^2=a^2+B{C}^2-a\cdot BC$

4. Упрощение уравнений:

   Разложим левую часть уравнений:

   $a^2+2ab+b^2=A{D}^2+b^2-AD\cdot b$

   $a^2+2ab+b^2=a^2+B{C}^2-a\cdot BC$

   Упростим каждое уравнение:

   $2ab=A{D}^2-AD\cdot b$

   $2ab=B{C}^2-a\cdot BC$

5. Сравнение боковых сторон:

   Из первого уравнения выразим $AD$:

   $A{D}^2-AD\cdot b-2ab=0$

   Решим это квадратное уравнение относительно $AD$:

   $AD=\frac{b+\sqrt{b^2+8ab}}{2}$

   Аналогично из второго уравнения выразим $BC$:

   $B{C}^2-BC\cdot a-2ab=0$

   Решим это квадратное уравнение относительно $BC$:

   $BC=\frac{a+\sqrt{a^2+8ab}}{2}$

6. Сравнение выражений для боковых сторон:

   Поскольку $AD$ и $BC$ выражены через те же переменные $a$ и $b$ и условия задачи симметричны, можно заключить, что $AD=BC$.

Таким образом, боковые стороны трапеции равны, что доказывает, что трапеция $ABCD$ является равнобедренной.