В случайном эксперименте симметричную монету бросают пять раз. Найдите вероятность того, что решка выпадет...

Для решения задачи о вероятности выпадения решки ровно 4 раза при пяти бросках симметричной монеты, воспользуемся биномиальной формулой для вычисления вероятностей.

Биномиальное распределение описывает вероятность получения ( k ) успехов (в нашем случае, это выпадение решки) в ( n ) независимых испытаниях (броски монеты), при этом вероятность успеха в каждом отдельном испытании равна ( p ).

Формула биномиального распределения выглядит следующим образом:

[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} ]

где:

• ( \binom{n}{k} ) — биномиальный коэффициент, равный числу сочетаний из ( n ) по ( k ) и вычисляется как ( \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} ),
• ( p ) — вероятность успеха (выпадения решки) в одном испытании,
• ( n ) — общее число испытаний,
• ( k ) — число успехов, которые нас интересуют.

В нашем случае:

• ( n = 5 ) (пять бросков),
• ( k = 4 ) (нас интересует выпадение решки ровно 4 раза),
• ( p = 0.5 ) (вероятность выпадения решки при одном броске, поскольку монета симметричная).

Подставим эти значения в формулу:

[ P(X = 4) = \binom{5}{4} (0.5)^4 (1-0.5)^{5-4} ]

Вычислим биномиальный коэффициент ( \binom{5}{4} ):

[ \binom{5}{4} = \frac{5!}{4!(5-4)!} = \frac{5!}{4! \cdot 1!} = \frac{5 \cdot 4!}{4! \cdot 1} = 5 ]

Теперь подставим это значение в формулу:

[ P(X = 4) = 5 \cdot (0.5)^4 \cdot (0.5)^1 ]

[ P(X = 4) = 5 \cdot (0.5)^5 ]

[ P(X = 4) = 5 \cdot \frac{1}{32} ]

[ P(X = 4) = \frac{5}{32} ]

Таким образом, вероятность того, что решка выпадет ровно 4 раза при пяти бросках симметричной монеты, составляет ( \frac{5}{32} ) или в десятичной форме примерно ( 0.15625 ) (около 15.625%).

Для решения данной задачи можно воспользоваться формулой Бернулли. В данном случае вероятность выпадения решки равна 0.5, так как монета симметричная.

Таким образом, вероятность того, что решка выпадет 4 раза и орел 1 раз, можно вычислить по формуле Бернулли:

P(k) = C(n, k) p^k (1-p)^(n-k),

где P(k) - вероятность того, что событие произойдет k раз, C(n, k) - количество сочетаний из n по k, p - вероятность выпадения решки, n - общее количество испытаний (в данном случае 5), k - количество успешных испытаний (в данном случае 4).

Подставляем значения и получаем:

P(4) = C(5, 4) 0.5^4 0.5^(5-4) = 5 0.0625 0.5 = 0.15625.

Таким образом, вероятность того, что решка выпадет ровно 4 раза при пяти бросках симметричной монеты равна 0.15625 или 15.625%.

Вероятность того, что решка выпадет ровно 4 раза при пяти бросках симметричной монеты равна 5/16 или 0.3125.