В правильной четырехугольной пирамиде площадь боковой поверхности равна 240 см^2,а площадь полной поверхности...

Пусть a - сторона основания пирамиды, h - высота пирамиды.

Площадь боковой поверхности пирамиды равна Sб = (a * l) / 2, где l - боковое ребро, которое можно найти по теореме Пифагора: l = √(h^2 + (a/2)^2).

Таким образом, имеем: Sб = (a * √(h^2 + (a/2)^2)) / 2 = 240.

Площадь полной поверхности пирамиды равна Sп = Sб + Sоснования, где Sоснования - площадь основания пирамиды: Sоснования = a^2.

Подставляем известные значения: 240 + a^2 = 384. Отсюда получаем a^2 = 144 => a = 12.

Теперь найдем высоту пирамиды h. Подставляем значение a = 12 в уравнение для Sб: (12 √(h^2 + 36))/2 = 240 => 12 √(h^2 + 36) = 480 => √(h^2 + 36) = 40 => h^2 + 36 = 1600 => h^2 = 1564 => h = 28.

Итак, сторона основания пирамиды равна 12 см, а высота пирамиды равна 28 см.

Для решения задачи, давайте обозначим некоторые переменные и воспользуемся формулами для площади пирамиды.

Пусть:

• ( a ) — сторона основания пирамиды (это квадрат, так как пирамида правильная четырёхугольная),
• ( h ) — высота пирамиды,
• ( s ) — апофема пирамиды (высота боковой грани).

1. Найдём площадь основания пирамиды.

Площадь полной поверхности пирамиды, ( S{\text{полн}} ), состоит из площади основания и площади боковой поверхности. Площадь боковой поверхности, ( S{\text{бок}} ), дана как 240 см², а площадь полной поверхности дана как 384 см². Следовательно, площадь основания пирамиды, ( S_{\text{осн}} ), можно найти так:

[ S{\text{осн}} = S{\text{полн}} - S_{\text{бок}} = 384 \, \text{см}^2 - 240 \, \text{см}^2 = 144 \, \text{см}^2 ]

Поскольку основание пирамиды — это квадрат, его площадь равна ( a^2 ):

[ a^2 = 144 \, \text{см}^2 \implies a = \sqrt{144} \implies a = 12 \, \text{см} ]

2. Найдём апофему пирамиды.

Теперь нужно воспользоваться формулой для площади боковой поверхности пирамиды. Площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной пирамиды равна сумме площадей четырёх треугольников, которые образуют её боковые грани. Площадь одной такой боковой грани (треугольника) можно выразить как:

[ \text{Площадь боковой грани} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot s ]

Суммарная площадь всех четырёх боковых граней:

[ S_{\text{бок}} = 4 \left( \frac{1}{2} \cdot a \cdot s \right) = 2 a s ]

Подставим известные значения:

[ 240 = 2 \cdot 12 \cdot s \implies 240 = 24 s \implies s = \frac{240}{24} \implies s = 10 \, \text{см} ]

3. Найдём высоту пирамиды.

Для нахождения высоты пирамиды ( h ) нужно учитывать, что апофема ( s ), высота ( h ), и половина стороны основания (( \frac{a}{2} )) образуют прямоугольный треугольник. Применим теорему Пифагора:

[ s^2 = h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 ]

Подставим известные значения:

[ 10^2 = h^2 + \left(\frac{12}{2}\right)^2 \implies 100 = h^2 + 6^2 \implies 100 = h^2 + 36 \implies h^2 = 64 \implies h = \sqrt{64} \implies h = 8 \, \text{см} ]

Результаты

Итак, сторона основания пирамиды равна 12 см, а высота пирамиды равна 8 см.