В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 70 , а один из острых углов равен 45 градусов.Найдите...

В прямоугольном треугольнике с одним острым углом в 45 градусов мы имеем дело с так называемым треугольником 45°-45°-90°, который также является равнобедренным. Это значит, что два катета равны между собой.

Давайте обозначим длину каждого катета как ( x ). В таком треугольнике гипотенуза (( c )) связана с катетами следующим образом:

[ c = x\sqrt{2} ]

В данном случае гипотенуза равна 70, поэтому мы можем записать уравнение:

[ 70 = x\sqrt{2} ]

Чтобы найти ( x ), разделим обе стороны уравнения на ( \sqrt{2} ):

[ x = \frac{70}{\sqrt{2}} ]

Упростив выражение, получим:

[ x = \frac{70\sqrt{2}}{2} = 35\sqrt{2} ]

Теперь, зная длины катетов, можем найти площадь треугольника. Площадь ( S ) прямоугольного треугольника вычисляется как половина произведения его катетов:

[ S = \frac{1}{2} \cdot x \cdot x = \frac{1}{2} \cdot (35\sqrt{2}) \cdot (35\sqrt{2}) ]

[ S = \frac{1}{2} \cdot 35^2 \cdot 2 ]

[ S = \frac{1}{2} \cdot 1225 \cdot 2 ]

[ S = 1225 ]

Таким образом, площадь данного треугольника равна 1225 квадратных единиц.

Для решения данной задачи нам нужно найти катеты прямоугольного треугольника, зная гипотенузу и один из углов.

По условию, у нас есть гипотенуза и один из острых углов, который равен 45 градусов. Так как сумма углов в треугольнике равна 180 градусов, то второй острый угол равен 90 градусов.

Теперь мы можем использовать определение тригонометрических функций для нахождения катетов. Так как мы знаем синус и косинус угла, то можем записать:

sin(45°) = a/70, cos(45°) = b/70,

где a и b - катеты треугольника. Так как sin(45°) = cos(45°) = √2/2, то получаем:

a = 70 * √2/2 = 35√2, b = 35√2.

Теперь можем найти площадь треугольника, используя формулу для площади прямоугольного треугольника:

S = (a b) / 2 = (35√2 35√2) / 2 = 1225.

Итак, площадь прямоугольного треугольника равна 1225.