В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 ребро ВС=4, ребро АВ=2 корень из 5, ребро ВВ1=4. Точка...

Для нахождения площади сечения, проходящего через точки ( B_1 ), ( A_1 ) и ( K ), необходимо сначала определить координаты этих точек и найти уравнение плоскости, проходящей через данные точки. Затем мы найдем площадь треугольника, образованного этими точками.

1. Определение координат точек:

Мы предполагаем, что вершина ( A ) имеет координаты ( (0,0,0) ). Тогда:

• ( B ) имеет координаты ( (2\sqrt{5}, 0, 0) ) (так как ( AB = 2\sqrt{5} )).
• ( C ) имеет координаты ( (2\sqrt{5}, 4, 0) ) (так как ( BC = 4 )).
• ( D ) имеет координаты ( (0, 4, 0) ).
• ( A_1 ) имеет координаты ( (0, 0, 4) ) (так как ( AA_1 = 4 )).
• ( B_1 ) имеет координаты ( (2\sqrt{5}, 0, 4) ) (так как ( BB_1 = 4 )).
• ( C_1 ) имеет координаты ( (2\sqrt{5}, 4, 4) ).
• ( D_1 ) имеет координаты ( (0, 4, 4) ).

Точка ( K ) является серединой ребра ( C C_1 ), следовательно, её координаты будут: [ K \left( \frac{2\sqrt{5} + 2\sqrt{5}}{2}, \frac{4 + 4}{2}, \frac{0 + 4}{2} \right) = (2\sqrt{5}, 4, 2) ).

1. Уравнение плоскости:

Теперь найдем уравнение плоскости, проходящей через точки ( B_1 (2\sqrt{5}, 0, 4) ), ( A_1 (0, 0, 4) ) и ( K (2\sqrt{5}, 4, 2) ).

Для этого используем формулу уравнения плоскости через три точки ( (x_1, y_1, z_1) ), ( (x_2, y_2, z_2) ), ( (x_3, y_3, z_3) ): [ \begin{vmatrix} x - x_1 & x_2 - x_1 & x_3 - x_1 \ y - y_1 & y_2 - y_1 & y_3 - y_1 \ z - z_1 & z_2 - z_1 & z_3 - z_1 \end{vmatrix} = 0 ]

Подставляем координаты: [ \begin{vmatrix} x - 2\sqrt{5} & 0 - 2\sqrt{5} & 2\sqrt{5} - 2\sqrt{5} \ y - 0 & 0 - 0 & 4 - 0 \ z - 4 & 4 - 4 & 2 - 4 \end{vmatrix} = 0 ]

Раскроем определитель: [ \begin{vmatrix} x - 2\sqrt{5} & -2\sqrt{5} & 0 \ y & 0 & 4 \ z - 4 & 0 & -2 \end{vmatrix} = 0 ]

Вычисляем определитель: [ 0 \cdot \begin{vmatrix}y & 4 \ z-4 & -2\end{vmatrix} - (-2\sqrt{5}) \cdot \begin{vmatrix}y & 4 \ z-4 & -2\end{vmatrix} + 0 \cdot \begin{vmatrix}y & 0 \ z-4 & 0\end{vmatrix} ]

[ -2\sqrt{5} \cdot (-2y - 4(z-4)) = 0 ]

[ -2\sqrt{5} \cdot (-2y - 4z + 16) = 0 ]

[ 4\sqrt{5}y + 8\sqrt{5}z - 32\sqrt{5} = 0 ]

[ y + 2z = 8 ]

1. Площадь треугольника:

Теперь найдем площадь треугольника, образованного точками ( B_1 (2\sqrt{5}, 0, 4) ), ( A_1 (0, 0, 4) ) и ( K (2\sqrt{5}, 4, 2) ).

Для этого используем формулу площади треугольника по координатам его вершин: [ S = \frac{1}{2} \sqrt{|\vec{AB_1} \times \vec{AK}|^2} ]

Векторы: [ \vec{AB_1} = (2\sqrt{5}, 0, 4), \quad \vec{AK} = (2\sqrt{5}, 4, 2) ]

Вычислим векторное произведение: [ \vec{AB_1} \times \vec{AK} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ 2\sqrt{5} & 0 & 4 \ 2\sqrt{5} & 4 & 2 \end{vmatrix} ]

[ = \mathbf{i} (0 \cdot 2 - 4 \cdot 4) - \mathbf{j} (2\sqrt{5} \cdot 2 - 2\sqrt{5} \cdot 4) + \mathbf{k} (2\sqrt{5} \cdot 4 - 2\sqrt{5} \cdot 0) ]

[ = \mathbf{i} (0 - 16) - \mathbf{j} (4\sqrt{5} - 8\sqrt{5}) + \mathbf{k} (8\sqrt{5} - 0) ]

[ = -16\mathbf{i} + 4\sqrt{5}\mathbf{j} + 8\sqrt{5}\mathbf{k} ]

Теперь найдем длину этого вектора: [ |\vec{AB_1} \times \vec{AK}| = \sqrt{(-16)^2 + (4\sqrt{5})^2 + (8\sqrt{5})^2} ]

[ = \sqrt{256 + 80 + 320} ]

[ = \sqrt{656} ]

Следовательно, площадь треугольника: [ S = \frac{1}{2} \sqrt{656} = \frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{41} = 4\sqrt{41} ]

Итак, площадь сечения, проходящего через точки ( B_1 ), ( A_1 ) и ( K ), равна ( 4\sqrt{41} ) квадратных единиц.

Для нахождения площади сечения, проходящего через точки B1, A1 и K, нужно сначала найти координаты точки K. Поскольку K - середина ребра CC1, то ее координаты можно найти как среднее арифметическое координат точек C и C1.

Пусть координаты точек C и C1 равны (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2) соответственно. Тогда координаты точки K будут равны ((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2, (z1 + z2)/2).

Далее, для нахождения площади сечения через точки B1, A1 и K, нужно найти векторы, соединяющие данные точки. Точки B1, A1 и K образуют плоскость, через которую будет проходить сечение. Следовательно, вектор, параллельный этой плоскости, будет являться векторным произведением двух векторов, лежащих в этой плоскости.

После нахождения вектора, параллельного плоскости, можно найти площадь сечения, используя формулу площади параллелограмма, образованного двумя векторами, проходящими через точки B1, A1 и K.

Таким образом, площадь сечения, проходящего через точки B1, A1 и K, можно найти, используя вышеописанные шаги и формулы.