В некоторой стране 30 городов, причем каждый соединен с каждым дорогой. Какое наибольшее число дорог можно закрыть на ремонт так, чтобы из каждого города можно было проехать в каждый?
В некоторой стране 30 городов, причем каждый соединен с каждым дорогой. Какое наибольшее число дорог можно закрыть на ремонт так, чтобы из каждого города можно было проехать в каждый?
Чтобы из каждого города можно было проехать в каждый, нужно оставить только одну дорогу между каждой парой городов. Следовательно, наибольшее число дорог, которые можно закрыть на ремонт, равно 435.
Рассмотрим задачу о графах, где каждый город представляет собой вершину, а каждая дорога между городами — ребро. Всего у нас 30 городов, и каждый город соединен с каждым другим городом дорогой, что делает наш граф полным графом на 30 вершинах.
В полном графе ( K_n ) количество ребер определяется формулой:
[ \frac{n(n-1)}{2} ]
Подставим ( n = 30 ):
[ \frac{30 \cdot 29}{2} = 435 ]
Таким образом, в нашем графе 435 дорог.
Теперь нам нужно определить, сколько дорог можно закрыть, чтобы граф оставался связным, то есть, чтобы всегда существовал путь между любыми двумя вершинами.
Связный граф, в котором удаляется минимальное количество ребер, остается связным до тех пор, пока не превращается в минимальное остовное дерево (МОТ). МОТ — это подграф с минимальным количеством ребер, который соединяет все вершины и не содержит циклов. В графе с ( n ) вершинами минимальное остовное дерево имеет ( n - 1 ) ребро.
Для нашего графа это будет:
[ 30 - 1 = 29 ]
Таким образом, чтобы граф оставался связным, в нем должно остаться как минимум 29 дорог.
Следовательно, максимальное количество дорог, которые можно закрыть, равно:
[ 435 - 29 = 406 ]
Ответ: можно закрыть на ремонт максимум 406 дорог, чтобы из каждого города можно было проехать в каждый другой.
Чтобы из каждого города можно было проехать в каждый, необходимо, чтобы граф был полным. Граф полный, когда каждая вершина соединена с каждой другой вершиной. В данном случае у нас 30 городов, что означает 30 вершин.
Формула для вычисления количества рёбер в полном графе заданного количества вершин равна (n(n-1))/2, где n - количество вершин. Подставляем n = 30: (30(30-1))/2 = (30*29)/2 = 435.
Таким образом, наибольшее количество дорог, которые можно закрыть на ремонт в полном графе из 30 городов, чтобы из каждого города можно было проехать в каждый, равно 435.
