В мешке имеется 10 белых и 5 черных шаров. Сколькими способами можно вытянуть 7 шаров, чтобы 3 из них...

Для решения этой задачи нам необходимо использовать комбинаторику.

Сначала найдем общее количество способов вытянуть 7 шаров из мешка, в котором 10 белых и 5 черных шаров. Это можно сделать по формуле сочетаний: С(15, 7) = 15! / (7! * 8!) = 6435.

Теперь найдем количество способов вытянуть 3 черных шара из 5 и 4 белых шара из 10. Это можно сделать по формуле сочетаний: С(5, 3) С(10, 4) = (5! / (3! 2!)) (10! / (4! 6!)) = 10 * 210 = 2100.

Итак, количество способов вытянуть 7 шаров из мешка так, чтобы 3 из них были черными, равно 2100.

Для решения задачи о количестве способов вытянуть 7 шаров из мешка, чтобы 3 из них были черными, мы можем использовать комбинаторный подход.

1. Определим общее количество шаров в мешке: всего 10 белых и 5 черных шаров, то есть 15 шаров.

2. Определим количество черных шаров, которые нужно выбрать: нам нужно выбрать 3 черных шара из 5. Это можно сделать ( \binom{5}{3} ) способами, где (\binom{n}{k}) — это биномиальный коэффициент (число сочетаний), равный:

   [ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n - k)!} ]

   Для наших данных:

   [ \binom{5}{3} = \frac{5!}{3!(5 - 3)!} = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{3! \cdot 2 \cdot 1} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10 ]

3. Определим количество белых шаров, которые нужно выбрать: нам нужно выбрать 4 белых шара из 10. Это можно сделать ( \binom{10}{4} ) способами:

   [ \binom{10}{4} = \frac{10!}{4!(10 - 4)!} = \frac{10!}{4! \cdot 6!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}{4! \cdot 6!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 210 ]

4. Определим общее количество способов выбрать 7 шаров так, чтобы 3 из них были черными и 4 белыми: согласно правилу умножения комбинаторики, общее количество способов будет произведением количества способов выбрать черные и белые шары:

   [ \binom{5}{3} \cdot \binom{10}{4} = 10 \cdot 210 = 2100 ]

Таким образом, количество способов вытянуть 7 шаров из мешка, чтобы 3 из них были черными, составляет 2100.

Для того чтобы вытянуть 7 шаров, из которых 3 должны быть черными, можно воспользоваться формулой сочетаний. Количество способов вытянуть 3 черных шара из 5 и 4 белых шара из 10 равно C(5,3) C(10,4) = 10 210 = 2100. Таким образом, можно вытянуть 7 шаров 2100 способами.