Задача 1: Покупки в магазине
Давайте решим эту задачу с использованием теории множеств и принципа включения-исключения.
Обозначим:
- ( A ) — множество людей, купивших холодильник (мощность ( |A| = 35 )).
- ( B ) — множество людей, купивших микроволновку (мощность ( |B| = 36 )).
- ( C ) — множество людей, купивших телевизор (мощность ( |C| = 37 )).
- ( |A \cap B| = 20 ) — люди, купившие холодильник и микроволновку.
- ( |B \cap C| = 19 ) — люди, купившие микроволновку и телевизор.
- ( |A \cap C| = 15 ) — люди, купившие холодильник и телевизор.
- ( |A \cap B \cap C| = 3 ) — люди, купившие все три предмета.
Нам нужно найти мощность множества людей, купивших хотя бы один из предметов, то есть ( |A \cup B \cup C| ).
Используем принцип включения-исключения:
[ |A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |B \cap C| - |A \cap C| + |A \cap B \cap C| ]
Подставляем известные значения:
[ |A \cup B \cup C| = 35 + 36 + 37 - 20 - 19 - 15 + 3 ]
[ |A \cup B \cup C| = 57 ]
Таким образом, 57 человек купили хотя бы один предмет.
Всего в магазине побывало 65 человек.
Тогда количество людей, которые ничего не купили:
[ 65 - 57 = 8 ]
Ответ: Да, среди них был покупатель, который ничего не купил. Таких покупателей было 8 человек.
Задача 2: Ученики с тройками
Обозначим:
- ( R ) — множество учеников, имеющих тройки по русскому (мощность ( |R| = 19 )).
- ( M ) — множество учеников, имеющих тройки по математике (мощность ( |M| = 17 )).
- ( H ) — множество учеников, имеющих тройки по истории (мощность ( |H| = 22 )).
- ( |R \cap M| = 7 ) — ученики, имеющие тройки по русскому и математике.
- ( |R \cap H| = ? ) — ученики, имеющие тройки по русскому и истории.
- ( |M \cap H| = 7 ) — ученики, имеющие тройки по математике и истории.
- ( |R \cap M \cap H| = 5 ) — ученики, имеющие тройки по всем предметам.
- ( |R \setminus (M \cup H)| = 4 ) — только по русскому.
- ( |M \setminus (R \cup H)| = 4 ) — только по математике.
- ( |H \setminus (R \cup M)| = 11 ) — только по истории.
Используем принцип включения-исключения для нахождения учеников, имеющих тройки хотя бы по одному предмету:
[ |R \cup M \cup H| = |R| + |M| + |H| - |R \cap M| - |M \cap H| - |R \cap H| + |R \cap M \cap H| ]
Найдем ( |R \cap H| ):
[ |R \cap H| = |R| + |H| - |R \cup H| ]
где
[ |R \cup H| = |R| + |H| - |R \cap H| ]
Найдем общее количество учеников с тройками по двум предметам:
[ |R \cap M| = 7 ]
[ |M \cap H| = 7 ]
[ |R \cap H| = |R| + |H| - |R \cup H| = 19 + 22 - |R \cup H| ]
Теперь подставим в общее уравнение:
[ |R \cup M \cup H| = 19 + 17 + 22 - 7 - 7 - |R \cap H| + 5 ]
Но у нас нет точного значения ( |R \cap H| ), поэтому предположим, что оно включает всех, кто не имеет тройки по одному предмету:
[ |R \cap H| = |R| + |H| - |R \cup H| ]
Теперь найдем ( |R \cup M \cup H| ):
[ |R \cup M \cup H| = 19 + 17 + 22 - 7 - 7 - |R \cap H| + 5 ]
Пусть ( |R \cap H| = x ):
[ 40 = 19 + 17 + 22 - 7 - 7 - x + 5 ]
[ x = 49 - 40 = 9 ]
Теперь найдем количество людей без троек:
[ |R \cup M \cup H| = 40 ]
[ |U \setminus (R \cup M \cup H)| = 40 - 40 = 0 ]
Ответ:
- Сколько человек учится без троек: 0 человек.
- Сколько человек имеют тройки по двум предметам: ( 7 + 7 - 5 = 9 ) человек.
