В классе учится 30 человек, из них 20 человек посещают кружок по истории, а 16 человек — кружок по математике....

1) Найдутся хотя бы два человека, которые посещают оба кружка 4) Не найдётся 17 человек, которые посещают оба кружка

Для анализа утверждений воспользуемся принципом включения-исключения для множеств. Пусть ( H ) — количество учеников, посещающих кружок по истории, ( M ) — количество учеников, посещающих кружок по математике, ( n ) — общее количество учеников в классе, ( k ) — количество учеников, посещающих оба кружка.

Даны следующие данные: [ n = 30 ] [ H = 20 ] [ M = 16 ]

Принцип включения-исключения для двух множеств гласит: [ H + M - k \leq n ] Подставим значения: [ 20 + 16 - k \leq 30 ] [ 36 - k \leq 30 ] [ k \geq 6 ]

Таким образом, существует как минимум 6 учеников, которые посещают оба кружка.

Рассмотрим каждое утверждение:

1. Найдутся хотя бы два человека, которые посещают оба кружка. Мы выяснили, что ( k \geq 6 ). Следовательно, найдётся как минимум 6 человек, которые посещают оба кружка. Это утверждение верно.

2. Если ученик не ходит на кружок по истории, то он обязательно ходит на кружок по математике. Проверим это утверждение. Количество учеников, не посещающих кружок по истории, можно найти как ( n - H = 30 - 20 = 10 ). Если бы они все ходили на кружок по математике, то общая сумма посещающих кружок по математике (включая тех, кто ходит на оба кружка) составила бы ( M = 16 ). Однако мы уже знаем, что ( k \geq 6 ), то есть среди этих 16 учеников есть те, кто посещает оба кружка. Это утверждение не обязательно верно, так как те, кто не посещает кружок по истории, могут и не ходить на кружок по математике.

3. Если ученик не ходит на кружок по истории, то он обязательно ходит на кружок по математике. Это утверждение идентично предыдущему и также не обязательно верно.

4. Не найдётся 17 человек, которые посещают оба кружка. Мы установили, что ( k \geq 6 ). Максимальное количество учеников, посещающих оба кружка, можно найти из неравенства: [ H + M - k \leq n ] [ 20 + 16 - k \leq 30 ] [ 36 - k \leq 30 ] [ k \leq 6 ] Таким образом, максимальное значение ( k ) может быть только 6, и 17 человек не могут одновременно посещать оба кружка. Это утверждение верно.

Итак, верными являются утверждения 1 и 4.

Из приведенных данных следуют утверждения 1 и 4.

1) Найдутся хотя бы два человека, которые посещают оба кружка - это верно, так как общее количество учеников, посещающих кружки по истории и математике, составляет 30 человек, а сумма количества учеников, посещающих каждый из кружков, равна 36 (20 + 16 - 30 = 6), что означает, что как минимум 6 человек посещают оба кружка.

2) Утверждение, что если ученик не ходит на кружок по истории, то он обязательно ходит на кружок по математике, неверно, так как из данных не следует, что все 30 учеников обязательно посещают хотя бы один из кружков.

3) Утверждение, что если ученик не ходит на кружок по истории, то он обязательно ходит на кружок по математике, также неверно по тем же причинам, что и в предыдущем пункте.

4) Не найдется 17 человек, которые посещают оба кружка - это верно, так как из общего количества учеников (30) и суммы количества учеников, посещающих каждый из кружков (36), следует, что не может быть 17 человек, которые посещают оба кружка.