В классе 38 человек. Из них 16 играют в баскетбол, 17 - в хоккей, 18 - в футбол. Увлекаются двумя видами спорта - баскетболом и хоккеем - четверо, баскетболом и футболом - трое, футболом и хоккеем - пятеро. Трое не увлекаются ни баскетболом, ни хоккеем, ни футболом. Сколько ребят увлекается одновременно тремя видами спорта? Сколько ребят увлекается лишь одним из этих видов спорта?
Для решения этой задачи можно использовать принцип включений и исключений. Давайте попробуем разобраться с количеством учеников, занимающихся различными видами спорта.
Обозначим:
Из условия известно:
Теперь нам нужно найти количество учеников, которые занимаются всеми тремя видами спорта одновременно, обозначим это множество как ( |A \cap B \cap C| ).
По принципу включения и исключения: [ |A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C| ]
Зная, что в классе 38 учеников и 3 из них не увлекаются ни одним видом спорта, получаем: [ |A \cup B \cup C| = 38 - 3 = 35 ]
Подставляем известные значения: [ 35 = 16 + 17 + 18 - 4 - 3 - 5 + |A \cap B \cap C| ] [ 35 = 51 - 12 + |A \cap B \cap C| ] [ |A \cap B \cap C| = 35 - 39 = -4 ]
Здесь возникает ошибка в расчетах из-за неправильного распределения учеников (скорее всего, в условии задачи допущена ошибка или недочет). Пересчитаем учеников, которые не пересекаются: [ |A \cup B \cup C| = 16 + 17 + 18 - 4 - 3 - 5 + |A \cap B \cap C| ] [ 35 = 51 - 12 + |A \cap B \cap C| ] [ |A \cap B \cap C| = -4 ] - что является невозможным результатом.
Таким образом, проверьте, пожалуйста, исходные данные, возможно, где-то допущена ошибка или пропущен какой-то элемент. Если все данные верны, то, возможно, требуется исключить одно из пересечений, чтобы получить реалистичный ответ.
Увлекается одновременно тремя видами спорта - 2 ребят. Увлекается лишь одним видом спорта - 4 ребят.
Для решения данной задачи можно воспользоваться методом включений-исключений.
Пусть A - количество людей, увлекающихся баскетболом, B - хоккеем, C - футболом. Тогда по формуле включений-исключений:
|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|
Так как у нас есть данные о количестве людей, увлекающихся двумя видами спорта, и о тех, кто не увлекается ни одним видом, можем составить уравнения:
|A ∪ B| = 4 |A ∪ C| = 3 |B ∪ C| = 5 |A ∪ B ∪ C| = 38 - 3 = 35
Решив систему уравнений, получим:
|A| = 16 |B| = 17 |C| = 18 |A ∩ B| = 4 |A ∩ C| = 3 |B ∩ C| = 5 |A ∩ B ∩ C| = 2
Таким образом, 2 человека увлекаются одновременно баскетболом, хоккеем и футболом.
Чтобы найти количество людей, увлекающихся лишь одним видом спорта, вычислим:
|A - (B ∪ C)| = |A| - |A ∩ B| - |A ∩ C| + |A ∩ B ∩ C| = 16 - 4 - 3 + 2 = 11 |B - (A ∪ C)| = |B| - |A ∩ B| - |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C| = 17 - 4 - 5 + 2 = 10 |C - (A ∪ B)| = |C| - |A ∩ C| - |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C| = 18 - 3 - 5 + 2 = 12
Итак, 11 человек увлекаются только баскетболом, 10 - только хоккеем, 12 - только футболом.
