В клас­се 21 уча­щий­ся, среди них два друга — Вадим и Олег. Класс слу­чай­ным об­ра­зом раз­би­ва­ют...

Для решения данной задачи нам необходимо определить общее количество способов разбиения класса на 3 равные группы и количество способов, при которых Вадим и Олег окажутся в одной группе.

Общее количество способов разбиения класса на 3 равные группы можно определить как количество перестановок 21 ученика, разделенных на 3 группы, что равно 21! / (7!)^3 (так как группы равные и порядок в них не важен).

Теперь определим количество способов, при которых Вадим и Олег окажутся в одной группе. Для этого обозначим Вадима и Олега как одного ученика и рассмотрим их как один объект. Тогда у нас остается 20 учеников и нужно разделить их на 3 группы, что можно сделать 20! / (6!)^3 способами.

Итак, вероятность того, что Вадим и Олег окажутся в одной группе, равна отношению количества способов, при которых они в одной группе, к общему количеству способов разбиения класса на 3 равные группы:

P = (20! / (6!)^3) / (21! / (7!)^3) = (20! 7!^3) / (21! 6!^3) = 7 / 21 = 1/3.

Таким образом, вероятность того, что Вадим и Олег окажутся в одной группе равна 1/3.

Для решения этой задачи нужно рассмотреть вероятности распределения студентов по группам. У нас есть 21 учащийся, которых нужно разделить на 3 группы по 7 человек в каждой. Вопрос в том, какова вероятность того, что Вадим и Олег окажутся в одной и той же группе.

1. Общее количество способов разбить класс на группы:

   • Сначала выберем первую группу из 7 человек из 21. Количество способов сделать это равно числу сочетаний ( C(21, 7) ).
   • Затем выберем вторую группу из оставшихся 14 человек. Это можно сделать ( C(14, 7) ) способами.
   • Оставшиеся 7 человек автоматически составят третью группу.
   • Следовательно, общее количество способов разделить класс на группы равно: [ C(21, 7) \times C(14, 7) ]

2. Количество способов, при которых Вадим и Олег в одной группе:

   • Предположим, что Вадим и Олег находятся в одной группе. Тогда нам нужно выбрать еще 5 человек из оставшихся 19, чтобы закончить формирование этой группы. Количество способов сделать это равно ( C(19, 5) ).
   • После этого из оставшихся 14 человек выбираем 7, чтобы составить вторую группу: ( C(14, 7) ).
   • Последние 7 человек составят третью группу.
   • Таким образом, количество способов, при которых Вадим и Олег в одной группе, равно: [ C(19, 5) \times C(14, 7) ]

3. Вероятность:

   • Вероятность того, что Вадим и Олег окажутся в одной группе, равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов: [ P = \frac{C(19, 5) \times C(14, 7)}{C(21, 7) \times C(14, 7)} ]
   • Упрощаем выражение: [ P = \frac{C(19, 5)}{C(21, 7)} ]

4. Вычисления:

   • ( C(19, 5) = \frac{19 \times 18 \times 17 \times 16 \times 15}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 11628 )
   • ( C(21, 7) = \frac{21 \times 20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16 \times 15}{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 116280 )

   Таким образом, вероятность равна: [ P = \frac{11628}{116280} = \frac{1}{10} ]

Ответ: Вероятность того, что Вадим и Олег окажутся в одной группе, составляет (\frac{1}{10}).