В каждой из 3 урн по 6 черных и 4 белых шара. Из первой урны наудачу извлечен один шар и переложен во вторую, после чего из второй урны наудачу извлечен один шар и переложен в третью урну. Найдите вероятность того, что шар, извлеченный затем из третьей урны, окажется белым.
Это задача на условные вероятности и последовательное использование теоремы полной вероятности. Давайте разберем её поэтапно.
Для нахождения вероятности того, что извлеченный из третьей урны шар окажется белым, нужно рассмотреть все возможные пути, влияющие на состав третьей урны, и воспользоваться теоремой полной вероятности.
Из первой урны извлекается шар, который может быть либо черным, либо белым.
Вероятность того, что из первой урны извлечен черный шар, равна: [ P(\text{черный}) = \frac{6}{10} = 0.6. ]
Вероятность того, что из первой урны извлечен белый шар, равна: [ P(\text{белый}) = \frac{4}{10} = 0.4. ]
После перекладывания извлеченного шара во вторую урну её состав изменится:
Теперь из второй урны извлекается шар, который также может быть либо черным, либо белым. Рассмотрим два случая в зависимости от того, какой шар попал во вторую урну на первом этапе.
Случай 1: Из первой урны был переложен черный шар (т.е. во второй урне теперь (7) черных и (4) белых шаров).
Случай 2: Из первой урны был переложен белый шар (т.е. во второй урне теперь (6) черных и (5) белых шаров).
После перекладывания извлеченного шара из второй урны в третью урна 3 изменит свой состав.
Теперь рассмотрим состав третьей урны и вероятность извлечения из неё белого шара.
Случай 1: Из второй урны был переложен черный шар.
Случай 2: Из второй урны был переложен белый шар.
Обобщая все возможные пути, мы можем воспользоваться теоремой полной вероятности: [ P(\text{белый из третьей}) = P(\text{черный из первой}) \cdot P(\text{белый из второй | черный из первой}) \cdot P(\text{белый из третьей | черный из второй}) + ] [
Подставим значения:
Теперь подставим всё в формулу: [ P(\text{белый из третьей}) = 0.6 \cdot \frac{4}{11} \cdot \frac{4}{11} + 0.4 \cdot \frac{5}{11} \cdot \frac{5}{11}. ]
Вычислим каждое слагаемое:
Сложим: [ P(\text{белый из третьей}) = \frac{9.6}{121} + \frac{10}{121} = \frac{19.6}{121}. ]
Итоговая вероятность: [ P(\text{белый из третьей}) \approx 0.162 (или 16.2\%). ]
Для решения задачи определим количество шаров в каждой из урн и рассмотрим процесс переноса шаров по урнам.
Шаг 1: Анализ урн.
Шаг 2: Перенос шара из первой урны во вторую. Мы извлекаем шар из первой урны. Вероятность того, что извлеченный шар черный (C) или белый (B):
Шаг 3: Состояние второй урны после переноса. После того как шар перенесен во вторую урну, у нас будут следующие состояния:
Если перенесли черный шар:
Если перенесли белый шар:
Шаг 4: Перенос шара из второй урны в третью. Теперь извлекаем шар из второй урны и переносим его в третью. Рассмотрим вероятности для каждого случая:
Если из второй урны перенесли черный шар (первый случай):
Если из второй урны перенесли белый шар (второй случай):
Шаг 5: Итоговое состояние третьей урны. Теперь найдем вероятность того, что в третьей урне окажется белый шар, учитывая все возможные сценарии:
Из первой урны черный, из второй черный:
Из первой урны черный, из второй белый:
Из первой урны белый, из второй черный:
Из первой урны белый, из второй белый:
Шаг 6: Объединение вероятностей. Теперь объединим все эти вероятности с учетом вероятностей выбора шара из первой урны:
[ P(B) = P(B|C, C)P(C)P(C) + P(B|C, B)P(C)P(B) + P(B|B, C)P(B)P(C) + P(B|B, B)P(B)P(B) ]
Подставляя значения:
[ = \left(0.4 \cdot \frac{6}{10} \cdot \frac{7}{11}\right) + \left(\frac{5}{11} \cdot \frac{6}{10} \cdot \frac{4}{11}\right) + \left(\frac{4}{11} \cdot \frac{4}{10} \cdot \frac{6}{11}\right) + \left(\frac{5}{11} \cdot \frac{4}{10} \cdot \frac{4}{11}\right) ]
Вычисляя все значения, мы получим окончательную вероятность того, что шар, извлеченный из третьей урны, окажется белым.
