Упростите выражение sin(п+a)*cos(п-a)/ctg (3п/2-a)

Для упрощения данного выражения необходимо воспользоваться тригонометрическими тождествами.

Сначала раскроем произведение синуса и косинуса: sin(п+a)cos(п-a) = sinпcosa + cosasinп = sinпcosa + sinпcosa = 2sinпcosa.

Теперь заменим ctg(3п/2-a) на 1/tg(3п/2-a): ctg(3п/2-a) = 1/tg(3п/2-a) = 1/(-cot(3п/2-a)) = -tan(3п/2-a).

Таким образом, исходное выражение примет вид: 2sinпcosa / -tan(3п/2-a) = -2sinпcosa * cot(3п/2-a).

Таким образом, упрощенным видом данного выражения будет -2sinпcosa cot(3п/2-a).

sin(п+a) = -sin(a) cos(п-a) = -cos(a) ctg(3п/2 - a) = -tg(a)

(-sin(a) -cos(a)) / -tg(a) = sin(a) cos(a) / tg(a) = sin(2a)

Для упрощения выражения (\sin(\pi + a) \cdot \cos(\pi - a) / \cot(3\pi/2 - a)), воспользуемся тригонометрическими тождествами и свойствами тригонометрических функций.

1. Трансформация синуса и косинуса:

   • (\sin(\pi + a) = -\sin(a)). Это следует из периодичности синуса и его симметрии относительно (\pi).
   • (\cos(\pi - a) = -\cos(a)). Это следует из периодичности косинуса и его симметрии относительно (\pi).

2. Трансформация котангенса:

   • (\cot(3\pi/2 - a)). Заметим, что (\cot(3\pi/2 - a) = -\tan(a)), потому что (\cot(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}) и при (\cot(3\pi/2 - a)) мы имеем смещение на (3\pi/2), что дает отрицательное значение тангенса.

Теперь подставим преобразованные функции в исходное выражение:

[ \frac{\sin(\pi + a) \cdot \cos(\pi - a)}{\cot(3\pi/2 - a)} = \frac{(-\sin(a)) \cdot (-\cos(a))}{-\tan(a)} ]

1. Упрощение выражения:

[ \frac{\sin(a) \cdot \cos(a)}{-\tan(a)} ]

1. Тангенс и его преобразование:
   • (\tan(a) = \frac{\sin(a)}{\cos(a)}).

Теперь подставим это в выражение:

[ \frac{\sin(a) \cdot \cos(a)}{- \frac{\sin(a)}{\cos(a)}} = \frac{\sin(a) \cdot \cos(a) \cdot \cos(a)}{-\sin(a)} = \frac{\sin(a) \cdot \cos^2(a)}{-\sin(a)} ]

1. Сокращение:
   • Сократим (\sin(a)) в числителе и знаменателе:

[ \frac{\cos^2(a)}{-1} = -\cos^2(a) ]

Таким образом, упрощенное выражение равно (-\cos^2(a)).