Учитель физкультуры решил разбить всех учеников 6а класса на одинаковые группы. Разбил по двое - 1 остался...

Давайте обозначим количество учеников в классе как ( N ).

Согласно условиям задачи, мы знаем следующее:

1. При делении на 2: ( N \mod 2 = 1 ) (остается 1 ученик).
2. При делении на 3: ( N \mod 3 = 1 ) (остается 1 ученик).
3. При делении на 4: ( N \mod 4 = 1 ) (остается 1 ученик).
4. При делении на 5: ( N \mod 5 = 0 ) (без остатка).

Из первых трех условий следует, что ( N ) при делении на 2, 3 и 4 всегда дает остаток 1. Это можно записать как:

[ N = 2k + 1 \quad (k \in \mathbb{Z}) ] [ N = 3m + 1 \quad (m \in \mathbb{Z}) ] [ N = 4n + 1 \quad (n \in \mathbb{Z}) ]

Это значит, что ( N - 1 ) делится на 2, 3 и 4. Следовательно, ( N - 1 ) является общим кратным этих чисел. Наименьшее общее кратное (НОК) чисел 2, 3 и 4 равно 12. Таким образом, мы можем записать:

[ N - 1 = 12p \quad (p \in \mathbb{Z}) ]

Следовательно:

[ N = 12p + 1 ]

Теперь воспользуемся условием деления на 5. Подставим ( N ) в это условие:

[ 12p + 1 \mod 5 = 0 ]

Сначала вычислим ( 12 \mod 5 ):

[ 12 \mod 5 = 2 ]

Тогда у нас получается:

[ 2p + 1 \mod 5 = 0 ]

Это можно записать как:

[ 2p \mod 5 = 4 ]

Теперь найдем ( p ), которое удовлетворяет этому условию. Чтобы решить ( 2p \equiv 4 \mod 5 ), умножим обе стороны на 3 (обратное число к 2 по модулю 5):

[ 6p \equiv 12 \mod 5 ] [ p \equiv 2 \mod 5 ]

Следовательно, ( p ) может быть записан как:

[ p = 5k + 2 \quad (k \in \mathbb{Z}) ]

Теперь подставим это значение ( p ) в выражение для ( N ):

[ N = 12(5k + 2) + 1 = 60k + 24 + 1 = 60k + 25 ]

Таким образом, ( N ) имеет вид:

[ N = 60k + 25 ]

Теперь мы можем найти минимальное значение ( N ), подставив ( k = 0 ):

[ N = 25 ]

Проверим, удовлетворяет ли это значение всем условиям задачи:

1. ( 25 \mod 2 = 1 ) (остается 1).
2. ( 25 \mod 3 = 1 ) (остается 1).
3. ( 25 \mod 4 = 1 ) (остается 1).
4. ( 25 \mod 5 = 0 ) (без остатка).

Все условия выполняются, следовательно, количество учеников в 6а классе равно ( N = 25 ).

Ответ: 25 учеников.

Для решения задачи необходимо найти наименьшее число учеников, которое удовлетворяет всем условиям:

1. При делении на 2 остаётся остаток 1.
2. При делении на 3 остаётся остаток 1.
3. При делении на 4 остаётся остаток 1.
4. При делении на 5 делится нацело.

Обозначим общее количество учеников за ( N ). Тогда:

1. ( N \equiv 1 \, (\text{mod} \, 2) ), то есть ( N - 1 ) делится на 2.
2. ( N \equiv 1 \, (\text{mod} \, 3) ), то есть ( N - 1 ) делится на 3.
3. ( N \equiv 1 \, (\text{mod} \, 4) ), то есть ( N - 1 ) делится на 4.
4. ( N \equiv 0 \, (\text{mod} \, 5) ), то есть ( N ) делится на 5.

Шаг 1. Анализ первых трёх условий

Первое, второе и третье условия означают, что ( N - 1 ) должно делиться одновременно на 2, 3 и 4. Найдём наименьшее общее кратное (НОК) этих чисел:

[ \text{НОК}(2, 3, 4) = 12. ]

Таким образом, ( N - 1 ) должно быть кратно 12, то есть:

[ N - 1 = 12k, \quad \text{где } k \text{ — целое число.} ]

Следовательно:

[ N = 12k + 1. ]

Шаг 2. Учет четвёртого условия

Четвёртое условие требует, чтобы ( N ) делилось на 5. Подставим выражение ( N = 12k + 1 ) в это условие:

[ 12k + 1 \equiv 0 \, (\text{mod} \, 5). ]

Упростим это сравнение. Заметим, что ( 12 \equiv 2 \, (\text{mod} \, 5) ), поэтому:

[ 2k + 1 \equiv 0 \, (\text{mod} \, 5). ]

Вычтем 1 из обеих частей:

[ 2k \equiv -1 \, (\text{mod} \, 5). ]

Поскольку ( -1 \equiv 4 \, (\text{mod} \, 5) ), то:

[ 2k \equiv 4 \, (\text{mod} \, 5). ]

Разделим обе части на 2. Обратный элемент к 2 по модулю 5 равен 3 (так как ( 2 \cdot 3 \equiv 1 \, (\text{mod} \, 5) )). Умножим обе части на 3:

[ k \equiv 4 \cdot 3 \, (\text{mod} \, 5). ]

[ k \equiv 12 \, (\text{mod} \, 5). ]

[ k \equiv 2 \, (\text{mod} \, 5). ]

Таким образом, ( k = 5m + 2 ), где ( m ) — целое число.

Шаг 3. Найдём ( N )

Подставим ( k = 5m + 2 ) в выражение ( N = 12k + 1 ):

[ N = 12(5m + 2) + 1. ]

Раскроем скобки:

[ N = 60m + 24 + 1. ]

[ N = 60m + 25. ]

Наименьшее значение ( N ) получается при ( m = 0 ):

[ N = 25. ]

Проверка условий

Проверим, удовлетворяет ли ( N = 25 ) всем условиям:

1. При делении на 2: ( 25 \div 2 = 12 ) остаток 1. Условие выполнено.
2. При делении на 3: ( 25 \div 3 = 8 ) остаток 1. Условие выполнено.
3. При делении на 4: ( 25 \div 4 = 6 ) остаток 1. Условие выполнено.
4. При делении на 5: ( 25 \div 5 = 5 ) остаток 0. Условие выполнено.

Ответ:

Всего учеников в классе: 25.