У саши меньше 100 марок когда он их группировал по 3, по 4 и по 5, то всякий раз оставалось по 1 марке....

Давайте обозначим количество марок у Саши за (x). Так как при группировке по 3, 4 и 5 оставалось по 1 марке, то это можно представить в виде следующей системы уравнений:

[ \begin{cases} x \equiv 1 \pmod{3} \ x \equiv 1 \pmod{4} \ x \equiv 1 \pmod{5} \end{cases} ]

Решая данную систему, мы можем найти, что минимальное положительное число марок, удовлетворяющее всем условиям, равно (x = 56). Таким образом, у Саши было 56 марок.

Давайте подробно разберем задачу.

У нас есть некоторое количество марок у Саши, обозначим это количество как ( n ). Известно, что ( n < 100 ). Также из условия следует, что при делении количества марок на 3, 4 и 5, остается остаток 1. Это можно записать в виде системы конгруэнций:

1. ( n \equiv 1 \pmod{3} )
2. ( n \equiv 1 \pmod{4} )
3. ( n \equiv 1 \pmod{5} )

Эти условия означают, что если из ( n ) вычесть 1, то результат будет делиться на 3, 4 и 5. Таким образом, мы можем записать:

[ n - 1 \equiv 0 \pmod{3} ] [ n - 1 \equiv 0 \pmod{4} ] [ n - 1 \equiv 0 \pmod{5} ]

Отсюда следует, что ( n - 1 ) является общим кратным чисел 3, 4 и 5. Наименьшее общее кратное (НОК) этих чисел можно найти следующим образом:

• Разложим числа на простые множители:
  • ( 3 = 3 )
  • ( 4 = 2^2 )
  • ( 5 = 5 )

НОК является произведением всех простых множителей с наибольшими показателями:

[ \text{НОК}(3, 4, 5) = 2^2 \times 3 \times 5 = 60 ]

Таким образом, ( n - 1 = 60k ), где ( k ) — некоторое целое число. Значит, ( n = 60k + 1 ).

Теперь найдем все подходящие значения ( n ), удовлетворяющие условию ( n < 100 ):

1. При ( k = 1 ): ( n = 60 \times 1 + 1 = 61 )
2. При ( k = 2 ): ( n = 60 \times 2 + 1 = 121 ) (не подходит, так как больше 100)

Таким образом, единственное значение, удовлетворяющее всем условиям, это ( n = 61 ).

Ответ: У Саши 61 марка.