Туристы проплыли на лодке от лагеря некоторое расстояние вверх по течению реки,затем причалили к берегу...

Туристы отплыли на расстояние 9 км от лагеря.

Для решения этой задачи важно учесть время, потраченное туристами на путь в обе стороны, и время, которое они провели на берегу.

Обозначим расстояние, которое туристы проплыли вверх по течению и обратно, как ( x ) километров. Туристы плыли вверх по течению реки со скоростью, равной разности собственной скорости лодки и скорости течения реки, т.е. ( 6 \text{ км/ч} - 3 \text{ км/ч} = 3 \text{ км/ч} ). Плывя обратно, они двигались с скоростью, равной сумме этих скоростей, т.е. ( 6 \text{ км/ч} + 3 \text{ км/ч} = 9 \text{ км/ч} ).

Пусть ( t_1 ) — время, затраченное на путь вверх по течению, и ( t_2 ) — время, затраченное на путь обратно. Тогда мы знаем, что: [ t_1 + t_2 + 2 = 6 \text{ часов} ] [ t_1 + t_2 = 4 \text{ часа} ]

Также мы можем выразить время через расстояние и скорость: [ t_1 = \frac{x}{3} \text{ часа} ] [ t_2 = \frac{x}{9} \text{ часа} ]

Подставим эти выражения в уравнение суммы времени: [ \frac{x}{3} + \frac{x}{9} = 4 ]

Чтобы решить это уравнение, приведем его к общему знаменателю: [ \frac{3x}{9} + \frac{x}{9} = 4 ] [ \frac{4x}{9} = 4 ]

Теперь решим уравнение относительно ( x ): [ 4x = 36 ] [ x = 9 \text{ км} ]

Таким образом, туристы отплыли на расстояние 9 километров от лагеря.

Пусть расстояние от лагеря, на которое отплыли туристы, равно Х км.

Тогда время пути вверх по течению реки можно выразить как X / (6 + 3) = X / 9 часов.

Погуляв 2 часа, туристы вернулись обратно через 6 часов от начала путешествия, то есть 8 часов после отплытия.

Тогда время пути вниз по течению реки можно выразить как X / (6 - 3) = X / 3 часов.

Из условия задачи следует, что сумма времени пути вверх и вниз по реке равна 8 часам: X / 9 + X / 3 = 8.

Упростим уравнение: X / 9 + 3X / 9 = 8, X + 3X = 72, 4X = 72, X = 18.

Итак, туристы проплыли на лодке 18 км от лагеря.