Точки А (-2;1) В(2;3) и С (4;-1) середины сторон треугольника. найдите координаты его вершин

Для решения задачи о нахождении координат вершин треугольника, если известны координаты середины его сторон, воспользуемся теоремой о медианах треугольника и свойствами серединного перпендикуляра.

Назначим вершины треугольника ( P, Q, R ). Пусть точки ( A(-2, 1) ) и ( B(2, 3) ), и ( C(4, -1) ) являются серединами сторон треугольника ( PQR ).

1. Определим координаты середины стороны ( PQ ): Точка ( A ) является серединой стороны ( PQ ), следовательно: [ A \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) = (-2, 1) ] [ \frac{x_1 + x_2}{2} = -2, \quad \frac{y_1 + y_2}{2} = 1 ] [ x_1 + x_2 = -4, \quad y_1 + y_2 = 2 ]

2. Определим координаты середины стороны ( QR ): Точка ( B ) является серединой стороны ( QR ), следовательно: [ B \left( \frac{x_2 + x_3}{2}, \frac{y_2 + y_3}{2} \right) = (2, 3) ] [ \frac{x_2 + x_3}{2} = 2, \quad \frac{y_2 + y_3}{2} = 3 ] [ x_2 + x_3 = 4, \quad y_2 + y_3 = 6 ]

3. Определим координаты середины стороны ( RP ): Точка ( C ) является серединой стороны ( RP ), следовательно: [ C \left( \frac{x_3 + x_1}{2}, \frac{y_3 + y_1}{2} \right) = (4, -1) ] [ \frac{x_3 + x_1}{2} = 4, \quad \frac{y_3 + y_1}{2} = -1 ] [ x_3 + x_1 = 8, \quad y_3 + y_1 = -2 ]

Теперь у нас есть система из трёх уравнений: [ \begin{cases} x_1 + x_2 = -4 \ x_2 + x_3 = 4 \ x_3 + x_1 = 8 \end{cases} ] [ \begin{cases} y_1 + y_2 = 2 \ y_2 + y_3 = 6 \ y_3 + y_1 = -2 \end{cases} ]

Решим первую систему: Сложим все три уравнения: [ (x_1 + x_2) + (x_2 + x_3) + (x_3 + x_1) = -4 + 4 + 8 ] [ 2(x_1 + x_2 + x_3) = 8 ] [ x_1 + x_2 + x_3 = 4 ]

Теперь выразим ( x_3 ) через ( x_1 ) и ( x_2 ): [ x_3 = 4 - x_1 - x_2 ]

Подставим ( x_3 ) в первое уравнение: [ x_1 + x_2 = -4 ]

Подставим ( x_3 ) в третье уравнение: [ 4 - x_1 - x_2 + x_1 = 8 ] [ 4 - x_2 = 8 ] [ x_2 = -4 ]

Теперь найдём ( x_1 ): [ x_1 - 4 = -4 ] [ x_1 = 0 ]

Теперь найдём ( x_3 ): [ x_3 = 4 - 0 - (-4) ] [ x_3 = 8 ]

Теперь решим вторую систему: Сложим все три уравнения: [ (y_1 + y_2) + (y_2 + y_3) + (y_3 + y_1) = 2 + 6 - 2 ] [ 2(y_1 + y_2 + y_3) = 6 ] [ y_1 + y_2 + y_3 = 3 ]

Теперь выразим ( y_3 ) через ( y_1 ) и ( y_2 ): [ y_3 = 3 - y_1 - y_2 ]

Подставим ( y_3 ) в первое уравнение: [ y_1 + y_2 = 2 ]

Подставим ( y_3 ) в третье уравнение: [ 3 - y_1 - y_2 + y_1 = -2 ] [ 3 - y_2 = -2 ] [ y_2 = 5 ]

Теперь найдём ( y_1 ): [ y_1 + 5 = 2 ] [ y_1 = -3 ]

Теперь найдём ( y_3 ): [ y_3 = 3 - (-3) - 5 ] [ y_3 = 1 ]

Итак, координаты вершин треугольника: [ P (0, -3), \quad Q (-4, 5), \quad R (8, 1) ]

Таким образом, координаты вершин треугольника ( PQR ) равны: ( P (0, -3) ), ( Q (-4, 5) ), ( R (8, 1) ).

Для нахождения координат вершин треугольника, зная координаты его середин сторон, можно воспользоваться следующим методом:

1. Найдем координаты вершины треугольника, соответствующей середине отрезка AB: Координаты середины отрезка AB можно найти как среднее арифметическое координат его концов: x_AB = (x_A + x_B) / 2 = (-2 + 2) / 2 = 0 / 2 = 0 y_AB = (y_A + y_B) / 2 = (1 + 3) / 2 = 4 / 2 = 2

Таким образом, координаты вершины треугольника, соответствующей середине отрезка AB, равны (0;2).

1. Аналогично найдем координаты вершины треугольника, соответствующей середине отрезка AC: x_AC = (x_A + x_C) / 2 = (-2 + 4) / 2 = 2 / 2 = 1 y_AC = (y_A + y_C) / 2 = (1 + (-1)) / 2 = 0 / 2 = 0

Таким образом, координаты вершины треугольника, соответствующей середине отрезка AC, равны (1;0).

1. Наконец, найдем координаты вершины треугольника, соответствующей середине отрезка BC: x_BC = (x_B + x_C) / 2 = (2 + 4) / 2 = 6 / 2 = 3 y_BC = (y_B + y_C) / 2 = (3 + (-1)) / 2 = 2 / 2 = 1

Таким образом, координаты вершины треугольника, соответствующей середине отрезка BC, равны (3;1).

Итак, координаты вершин треугольника, соединяющего точки A(-2;1), B(2;3) и C(4;-1), равны: A(-2;1), B(2;3), C(4;-1), D(0;2), E(1;0), F(3;1).