Точка М лежит на хорде АВ так, что АМ:В М=4:3, АВ=14. Расстояние от центра окружности до точки М равно...

Для решения задачи сначала введем необходимые обозначения и используем свойства хорды и окружности.

1. Пусть ( O ) — центр окружности, ( R ) — радиус окружности.
2. Хорда ( AB ) имеет длину 14 см.
3. Точка ( M ) делит хорду ( AB ) в отношении ( AM:MB = 4:3 ).
4. Мы знаем, что расстояние от центра окружности до точки ( M ) равно 4 см.

Давайте обозначим длины отрезков ( AM ) и ( MB ):

• ( AM = 4x )
• ( MB = 3x )

Поскольку ( AM + MB = AB ), получаем: [ 4x + 3x = 14 ] [ 7x = 14 ] [ x = 2 ]

Таким образом, длины отрезков:

• ( AM = 4 \cdot 2 = 8 ) см
• ( MB = 3 \cdot 2 = 6 ) см

Теперь обозначим ( OM ) как расстояние от центра окружности до точки ( M ). Из условия задачи известно, что ( OM = 4 ) см.

Проведем перпендикуляр из точки ( O ) на хорду ( AB ), обозначим точку пересечения перпендикуляра с хордой как ( P ). ( P ) будет серединой хорды ( AB ), так как перпендикуляр из центра окружности на хорду делит её пополам.

Длина отрезка ( AP ) равна половине длины ( AB ): [ AP = \frac{AB}{2} = \frac{14}{2} = 7 \text{ см} ]

Теперь рассмотрим треугольник ( OMP ). Он является прямоугольным, так как ( OP ) — перпендикуляр к хорде ( AB ).

Применим теорему Пифагора к треугольнику ( OMP ): [ OM^2 + MP^2 = OP^2 ]

Мы знаем, что: [ OM = 4 \text{ см} ] [ MP = |AM - AP| = |8 - 7| = 1 \text{ см} ]

Подставим значения в теорему Пифагора: [ 4^2 + 1^2 = OP^2 ] [ 16 + 1 = OP^2 ] [ OP^2 = 17 ] [ OP = \sqrt{17} \text{ см} ]

Теперь рассмотрим треугольник ( OPA ) (также прямоугольный треугольник, так как ( OP ) — перпендикуляр к хорде ( AB )) и применим теорему Пифагора: [ OP^2 + PA^2 = OA^2 ]

Мы знаем, что: [ PA = 7 \text{ см} ] [ OP = \sqrt{17} \text{ см} ]

Подставим значения в теорему Пифагора: [ (\sqrt{17})^2 + 7^2 = OA^2 ] [ 17 + 49 = OA^2 ] [ 66 = OA^2 ] [ OA = \sqrt{66} \text{ см} ]

Таким образом, радиус окружности равен: [ R = \sqrt{66} \text{ см} ]

Итак, радиус окружности равен ( \sqrt{66} ) см.

Для начала найдем длины отрезков AM и MB. Пусть AM = 4x, тогда BM = 3x. Так как AM:BM = 4:3, то 4x + 3x = 14, откуда x = 2. Таким образом, AM = 4 2 = 8, BM = 3 2 = 6.

Для нахождения радиуса окружности воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника OMA, где O - центр окружности. Так как MO = 4, а AM = 8, то радиус окружности равен:

r = √(OM^2 - AM^2) = √(4^2 - 8^2) = √(16 - 64) = √(-48) = 4√3 см.

Таким образом, радиус окружности равен 4√3 см.