Страницы книги пронумерованы подряд от первой до последней. Хулиган Вася вырвал из разных мест книги 25 листов и сложил номера всех 50 вырванных страниц. У него получилось число 2002. Когда об этом узнал Коля, он заявил, что при подсчёте Вася ошибся. Объясните, почему Коля действительно прав.
Пусть сумма номеров всех страниц книги равна S. Так как Вася вырвал 25 листов, то сумма номеров всех вырванных страниц равна 2002. Тогда сумма номеров оставшихся страниц равна S - 2002.
По условию задачи, номера всех вырванных страниц сложены. Если поделить эту сумму на 2, то получим сумму номеров всех вырванных страниц, так как каждая страница встречается дважды.
Следовательно, сумма номеров всех вырванных страниц равна 2002 / 2 = 1001.
Но так как сумма номеров всех вырванных страниц равна S - 2002, то мы можем записать уравнение:
S - 2002 = 1001
Отсюда получаем, что S = 3003.
Так как сумма номеров всех страниц книги равна 3003, то сумма номеров всех страниц от 1 до n равна n(n+1)/2. Найдем такое n, что n(n+1)/2 = 3003.
n(n+1)/2 = 3003 n(n+1) = 6006 n^2 + n - 6006 = 0
Решив это квадратное уравнение, мы получим два значения для n: n = 77 и n = -78. Так как n должно быть положительным, то n = 77.
Значит, всего в книге 77 страниц, а не 50, как утверждал Вася. Поэтому Коля правильно заметил, что Вася ошибся.
Давайте рассмотрим задачу более подробно и разберемся, почему Коля прав.
Предположим, что в книге страницы пронумерованы от 1 до ( n ). Вырвав 25 листов, Вася удаляет 50 страниц (так как каждый лист содержит 2 страницы).
Теперь давайте рассмотрим сумму всех страниц от 1 до ( n ). Эта сумма равна:
[ S = \frac{n(n + 1)}{2} ]
После того как Вася вырвал 25 листов, сумма номеров оставшихся страниц будет равна:
[ S' = S - \text{сумма номеров вырванных страниц} ]
Пусть сумма номеров вырванных страниц равна 2002, как утверждал Вася.
Теперь посмотрим на номера страниц на одном листе. Поскольку страницы идут подряд, если на листе находятся страницы с номерами ( x ) и ( x+1 ), то сумма номеров страниц на одном листе всегда будет равна:
[ x + (x + 1) = 2x + 1 ]
Это значит, что сумма номеров страниц на каждом отдельном листе является нечетным числом.
Мы вырвали 25 листов, и следовательно, сумма номеров всех вырванных страниц должна быть суммой 25 нечетных чисел. Сумма любого количества нечетных чисел также будет нечетным числом.
Однако Вася заявил, что сумма вырванных страниц равна 2002, что является четным числом. Здесь и кроется ошибка: сумма 25 нечетных чисел не может быть четной.
Таким образом, Коля прав в том, что Вася ошибся при подсчёте.
