Сторона квадрата равна 4 см. Точка, равноудаленная от всех вершин квадрата находится на расстоянии 6...

Давайте решим задачу шаг за шагом.

1. Определение центра квадрата и диагоналей:

   • Рассмотрим квадрат со стороной 4 см. Пусть его вершины имеют координаты ( A(0, 0) ), ( B(4, 0) ), ( C(4, 4) ), ( D(0, 4) ).
   • Пересечение диагоналей квадрата — это его центр. Для нашего квадрата центр будет в точке ( O(2, 2) ).

2. Определение точки, равноудаленной от всех вершин:

   • Нам дана точка ( P ), которая равноудалена от всех вершин квадрата и находится на расстоянии 6 см от центра ( O ).

3. Геометрическое расположение точки ( P ):

   • Так как точка ( P ) равноудалена от всех вершин квадрата, она будет находиться на пересечении окружностей с радиусом ( R ), центры которых находятся в вершинах квадрата.
   • Эти окружности пересекаются в центре квадрата и еще одной точке, находящейся на расстоянии ( 6 ) см от этого центра.

4. Решение уравнения для нахождения ( R ):

   • Расстояние от центра квадрата ( O(2, 2) ) до точки ( P ) равно 6 см.
   • Формула для расстояния между двумя точками в координатах: [ \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} ]
   • Подставляя значения, получаем: [ \sqrt{(x - 2)^2 + (y - 2)^2} = 6 ]

5. Расстояние от точки ( P ) до вершин квадрата:

   • Так как точка ( P ) равноудалена от всех вершин квадрата, расстояние от ( P ) до любой из вершин квадрата будет одинаковым и равно радиусу ( R ) окружности, описанной вокруг квадрата.
   • Мы знаем, что расстояние от ( O ) до ( P ) равно 6 см, и это расстояние образует гипотенузу равностороннего треугольника, образованного центром квадрата и сторонами, идущими к точке ( P ) и одной из вершин квадрата.
   • Используя теорему Пифагора, расстояние от ( P ) до любой вершины квадрата равно [ \sqrt{6^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} ] см.

Таким образом, расстояние от точки ( P ) до любой из вершин квадрата равно ( 2\sqrt{10} ) см.

Для решения данной задачи нам необходимо построить диагонали квадрата и обозначить точку, равноудаленную от всех его вершин. Далее, проведем от этой точки перпендикуляры к сторонам квадрата и обозначим точки их пересечения с этими сторонами.

Таким образом, мы получим четыре прямоугольных треугольника, каждый из которых имеет гипотенузу длиной 6 см (расстояние от точки до пересечения диагоналей) и катеты длиной 2 см (половина стороны квадрата). По теореме Пифагора найдем длину катетов этих треугольников: √(6^2 - 2^2) = √(36 - 4) = √32 = 4√2 см.

Таким образом, расстояние от точки, равноудаленной от всех вершин квадрата, до вершин квадрата равно 4√2 см.