Список заданий викторины состоял из 25 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 7 очков,...

Для решения этой задачи нужно определить, сколько правильных ответов дал ученик, учитывая, что за каждый правильный ответ он получает 7 очков, за каждый неправильный теряет 9 очков, а за отсутствие ответа не получает и не теряет очков.

Обозначим:

• ( x ) - количество правильных ответов,
• ( y ) - количество неправильных ответов,
• ( z ) - количество вопросов, на которые ученик не ответил.

По условиям задачи, общее количество вопросов равно 25, следовательно: [ x + y + z = 25. ]

Также известно, что ученик набрал 56 очков. Очки начисляются по следующей формуле: [ 7x - 9y = 56. ]

Учитывая, что ученик по крайней мере один раз ошибся, ( y \geq 1 ).

Теперь решим систему уравнений:

1. ( x + y + z = 25 )
2. ( 7x - 9y = 56 )

Из первого уравнения выразим ( z ): [ z = 25 - x - y. ]

Подставим ( z ) во второе уравнение: [ 7x - 9y = 56. ]

Решим систему уравнений методом подбора, учитывая, что ( y \geq 1 ).

Проверим несколько значений ( y ):

1. Если ( y = 1 ): [ 7x - 9 \cdot 1 = 56 \implies 7x = 65 \implies x = \frac{65}{7} \approx 9.29 ] ( x ) не целое число, не подходит.

2. Если ( y = 2 ): [ 7x - 9 \cdot 2 = 56 \implies 7x = 74 \implies x = \frac{74}{7} \approx 10.57 ] ( x ) не целое число, не подходит.

3. Если ( y = 3 ): [ 7x - 9 \cdot 3 = 56 \implies 7x = 83 \implies x = \frac{83}{7} \approx 11.86 ] ( x ) не целое число, не подходит.

4. Если ( y = 4 ): [ 7x - 9 \cdot 4 = 56 \implies 7x = 92 \implies x = \frac{92}{7} \approx 13.14 ] ( x ) не целое число, не подходит.

5. Если ( y = 5 ): [ 7x - 9 \cdot 5 = 56 \implies 7x = 101 \implies x = \frac{101}{7} \approx 14.43 ] ( x ) не целое число, не подходит.

6. Если ( y = 6 ): [ 7x - 9 \cdot 6 = 56 \implies 7x = 110 \implies x = \frac{110}{7} \approx 15.71 ] ( x ) не целое число, не подходит.

7. Если ( y = 7 ): [ 7x - 9 \cdot 7 = 56 \implies 7x = 119 \implies x = 17 ] ( x = 17 ), целое число, подходит.

Проверим, соответствует ли это условию:

• ( x = 17 ),
• ( y = 7 ),
• ( z = 25 - 17 - 7 = 1 ).

Подсчитаем очки: [ 7 \cdot 17 - 9 \cdot 7 = 119 - 63 = 56. ]

Ответ: Ученик дал 17 правильных ответов.

Предположим, что ученик ответил на x вопросов правильно и (25-x) вопросов неправильно. Тогда мы можем составить уравнение:

7x - 9(25-x) = 56

Решив это уравнение, мы получаем x = 10.

Таким образом, ученик дал 10 правильных ответов и 15 неправильных ответов, а значит ошибался хотя бы один раз.