Составьте уравнение касательной к графику функции y=x-3x^2 в точке с абсциссой x0=2

Для того чтобы найти уравнение касательной к графику функции y=x-3x^2 в точке с абсциссой x0=2, нужно использовать формулу для уравнения касательной к кривой в точке:

y - y0 = f'(x0)(x - x0),

где f'(x) - производная функции f(x), x0 - абсцисса точки, к которой проводится касательная, y0 - ордината точки.

Для функции y=x-3x^2 производная f'(x) равна 1-6x.

Подставляя x0=2 в функцию и ее производную, получаем:

y0 = 2 - 32^2 = 2 - 12 = -10, f'(2) = 1 - 62 = -11.

Теперь можем записать уравнение касательной в точке (2, -10):

y - (-10) = -11(x - 2), y + 10 = -11x + 22, y = -11x + 12.

Для составления уравнения касательной к графику функции ( y = x - 3x^2 ) в точке с абсциссой ( x_0 = 2 ), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти значение функции в точке ( x_0 ): Подставляем ( x_0 = 2 ) в уравнение функции: [ y = 2 - 3 \cdot 2^2 = 2 - 3 \cdot 4 = 2 - 12 = -10. ] Таким образом, координаты точки касания (2, -10).

2. Найти производную функции ( y = x - 3x^2 ): Производная данной функции будет: [ y' = 1 - 6x. ]

3. Вычислить значение производной в точке ( x_0 ): Подставляем ( x_0 = 2 ) в производную: [ y'(2) = 1 - 6 \cdot 2 = 1 - 12 = -11. ] Значение производной в точке ( x_0 = 2 ) равно -11. Это и есть угловой коэффициент касательной.

4. Составить уравнение касательной: Уравнение касательной к графику функции в точке ( x_0 = 2 ), ( y_0 = -10 ) и с угловым коэффициентом -11 можно записать по формуле точки касательной: [ y - y_0 = k(x - x_0), ] где ( k ) — угловой коэффициент касательной, ( x_0 ) и ( y_0 ) — координаты точки касания. Подставляем известные значения: [ y + 10 = -11(x - 2). ] Раскрываем скобки и упрощаем уравнение: [ y + 10 = -11x + 22, ] [ y = -11x + 12. ]

Таким образом, уравнение касательной к графику функции ( y = x - 3x^2 ) в точке с абсциссой ( x_0 = 2 ) имеет вид ( y = -11x + 12 ).