Составьте уравнение касательной f(x)=(x+1)/(x-1) в точке с абциссой x0=2

Уравнение касательной в точке x=2 для функции f(x)=(x+1)/(x-1) будет y=-1/3x + 5/3.

Для того чтобы составить уравнение касательной к функции ( f(x) = \frac{x+1}{x-1} ) в точке с абсциссой ( x_0 = 2 ), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти значение функции в точке ( x_0 = 2 ):

   Подставим ( x = 2 ) в функцию: [ f(2) = \frac{2+1}{2-1} = \frac{3}{1} = 3 ] Таким образом, точка касания имеет координаты ( (2, 3) ).

2. Найти производную функции ( f'(x) ):

   Для этого воспользуемся правилом дифференцирования частного. Пусть ( u(x) = x + 1 ) и ( v(x) = x - 1 ). Тогда ( f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} ). Производная частного вычисляется по формуле: [ f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} ] Найдём производные ( u(x) ) и ( v(x) ): [ u'(x) = 1, \quad v'(x) = 1 ] Подставим эти значения в формулу: [ f'(x) = \frac{(1)(x-1) - (x+1)(1)}{(x-1)^2} = \frac{x-1 - x - 1}{(x-1)^2} = \frac{-2}{(x-1)^2} ] Таким образом, производная функции: [ f'(x) = \frac{-2}{(x-1)^2} ]

3. Найти значение производной в точке ( x_0 = 2 ):

   Подставим ( x = 2 ) в производную: [ f'(2) = \frac{-2}{(2-1)^2} = \frac{-2}{1} = -2 ] Таким образом, наклон касательной в точке ( x = 2 ) равен (-2).

4. Составить уравнение касательной:

   Уравнение касательной к кривой в точке ( (x_0, y_0) ) с наклоном ( k ) имеет вид: [ y - y_0 = k(x - x_0) ] В нашем случае ( x_0 = 2 ), ( y_0 = 3 ), ( k = -2 ). Подставим эти значения в уравнение: [ y - 3 = -2(x - 2) ] Раскроем скобки и приведём уравнение к стандартному виду: [ y - 3 = -2x + 4 \quad \Rightarrow \quad y = -2x + 4 + 3 \quad \Rightarrow \quad y = -2x + 7 ]

Таким образом, уравнение касательной к функции ( f(x) = \frac{x+1}{x-1} ) в точке с абсциссой ( x_0 = 2 ) имеет вид: [ y = -2x + 7 ]

Для составления уравнения касательной к функции f(x) = (x+1)/(x-1) в точке с абсциссой x0=2, нам необходимо найти производную данной функции и подставить значение x=x0 в уравнение прямой.

1. Найдем производную функции f(x): f'(x) = (1(x-1) - (x+1)1) / (x-1)^2 f'(x) = (x-1-x-1) / (x-1)^2 f'(x) = -2 / (x-1)^2

2. Теперь найдем значение производной в точке x0=2: f'(2) = -2 / (2-1)^2 f'(2) = -2 / 1 f'(2) = -2

3. Теперь используем формулу уравнения касательной: y = f(x0) + f'(x0) * (x - x0)

4. Подставляем значения: y = f(2) + f'(2) (x - 2) y = ((2+1)/(2-1)) + (-2) (x - 2) y = 3 + (-2) * (x - 2) y = 3 - 2x + 4 y = 7 - 2x

Таким образом, уравнение касательной к функции f(x) = (x+1)/(x-1) в точке x=2 будет: y = 7 - 2x