Составить уравнение плоскости, проходящей через точки М1(2;-1;3), М2(3;1;2), параллельно вектору а={3;-1;-4}

Для составления уравнения плоскости, проходящей через точки М1(2;-1;3) и М2(3;1;2) и параллельной вектору а={3;-1;-4}, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найдем направляющий вектор плоскости, который будет параллелен вектору а={3;-1;-4}. Для этого возьмем координаты точки М1(2;-1;3) и М2(3;1;2):

вектор М1М2 = (3-2; 1+1; 2-3) = (1; 2; -1)

1. Уравнение плоскости имеет вид:

A(x - x₀) + B(y - y₀) + C(z - z₀) = 0,

где (A; B; C) - координаты направляющего вектора плоскости, (x₀; y₀; z₀) - координаты точки, через которую проходит плоскость.

1. Подставим координаты точки М1(2;-1;3) и направляющий вектор (1; 2; -1) в уравнение плоскости:

A(2 - 2) + B(-1 + 2) + C(3 - 3) = 0, A(1) + B(1) + C(0) = 0, A + B = 0. (1)

1. Также подставим координаты точки М2(3;1;2) и направляющий вектор (1; 2; -1) в уравнение плоскости:

A(3 - 2) + B(1 - 2) + C(2 - 3) = 0, A(1) + B(-1) + C(-1) = 0, A - B - C = 0. (2)

1. Теперь найдем координаты вектора нормали к плоскости, который будет перпендикулярен направляющему вектору и будет удовлетворять уравнениям (1) и (2). Для этого найдем их векторное произведение:

(1; 2; -1) x (1; -1; -1) = (1(-1) - 2(-1); (-1)(-1) - 1(-1); 1(-1) - 21) = (1 - 2; 1 + 1; -1 - 2) = (-1; 2; -3)

1. Полученный вектор (-1; 2; -3) будет координатами вектора нормали к плоскости. Теперь подставим его координаты в уравнение плоскости:

-1(x - 2) + 2(y + 1) - 3(z - 3) = 0, -x + 2y + 3z - 7 = 0.

Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через точки М1(2;-1;3) и М2(3;1;2) и параллельной вектору а={3;-1;-4}, будет иметь вид: -x + 2y + 3z - 7 = 0.

Для составления уравнения плоскости, которая проходит через две точки и параллельна данному вектору, необходимо сначала найти нормальный вектор к этой плоскости.

1. Найдем вектор, направленный от точки M1 к точке M2: Вектор (\vec{M_1M_2} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)), где (M_1 = (2, -1, 3)) и (M_2 = (3, 1, 2)). [ \vec{M_1M_2} = (3 - 2, 1 - (-1), 2 - 3) = (1, 2, -1). ]

2. Найдем нормальный вектор к плоскости: Нормальный вектор (\vec{n}) к плоскости можно найти как векторное произведение вектора (\vec{M_1M_2}) и вектора (\vec{a}), так как векторное произведение будет перпендикулярно обоим этим векторам, а значит, и плоскости.

   Пусть (\vec{a} = (3, -1, -4)), тогда [ \vec{n} = \vec{M_1M_2} \times \vec{a} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \ 1 & 2 & -1 \ 3 & -1 & -4 \end{vmatrix}. ]

   Расчет определителя: [ \vec{n} = \vec{i} (2 \cdot (-4) - (-1) \cdot (-1)) - \vec{j} (1 \cdot (-4) - (-1) \cdot 3) + \vec{k} (1 \cdot (-1) - 2 \cdot 3). ] [ \vec{n} = \vec{i} (-8 - 1) - \vec{j} (-4 + 3) + \vec{k} (-1 - 6). ] [ \vec{n} = -9\vec{i} - \vec{j} - 7\vec{k} = (-9, -1, -7). ]

3. Составим уравнение плоскости: Уравнение плоскости в форме (Ax + By + Cz + D = 0), где (A, B, C) — координаты нормального вектора, а (D) находится из условия прохождения через точку (M_1).

   Подставляя (M_1 = (2, -1, 3)): [ -9 \cdot 2 - 1 \cdot (-1) - 7 \cdot 3 + D = 0, ] [ -18 + 1 - 21 + D = 0, ] [ D = 38. ]

   Таким образом, уравнение плоскости: [ -9x - y - 7z + 38 = 0, ] или при желании можно разделить все на -1: [ 9x + y + 7z - 38 = 0. ] Это уравнение плоскости, проходящей через точки (M_1) и (M_2), параллельно вектору (\vec{a}).