Составить уравнение гиперболы по координатам фокусов и уравнениям ее асимптот F(+-5;0), y=+-4/3x

Для составления уравнения гиперболы по координатам её фокусов и уравнениям асимптот, сначала определим расположение гиперболы и её основные характеристики.

Дано:

1. Фокусы гиперболы: ( F_1(-5, 0) ) и ( F_2(5, 0) ).
2. Уравнения асимптот: ( y = \frac{4}{3}x ) и ( y = -\frac{4}{3}x ).

Шаг 1: Определение центра гиперболы

Центр гиперболы находится посередине между фокусами. Поэтому координаты центра ( C ) будут: [ C(0, 0) ]

Шаг 2: Определение расстояния до фокусов

Расстояние до фокусов (параметр ( c )) равно половине расстояния между фокусами: [ c = \frac{d(F_1, F_2)}{2} = \frac{5 - (-5)}{2} = \frac{10}{2} = 5 ]

Шаг 3: Определение углового коэффициента асимптот

Уравнения асимптот имеют вид: [ y = \pm\frac{a}{b}x ] где ( \frac{a}{b} ) — угловой коэффициент. В нашем случае: [ \frac{a}{b} = \frac{4}{3} ]

Шаг 4: Нахождение параметров ( a ) и ( b )

Согласно свойствам гиперболы, используя соотношение между ( a ), ( b ) и ( c ): [ c^2 = a^2 + b^2 ] Подставим известное значение ( c ): [ 5^2 = a^2 + b^2 \implies 25 = a^2 + b^2 ]

Так как ( \frac{a}{b} = \frac{4}{3} ), можно выразить ( a ) через ( b ): [ a = \frac{4}{3}b ]

Подставив это значение в уравнение ( 25 = a^2 + b^2 ): [ 25 = \left(\frac{4}{3}b\right)^2 + b^2 ] [ 25 = \frac{16}{9}b^2 + b^2 ] [ 25 = \frac{16}{9}b^2 + \frac{9}{9}b^2 = \frac{25}{9}b^2 ] [ b^2 = 25 \cdot \frac{9}{25} = 9 \implies b = 3 ]

Теперь подставим ( b ) обратно для нахождения ( a ): [ a = \frac{4}{3}b = \frac{4}{3} \cdot 3 = 4 ]

Шаг 5: Составление уравнения гиперболы

Гипербола с центром в начале координат, с фокусами на оси абсцисс и асимптотами, имеющими такие угловые коэффициенты, записывается в стандартной форме: [ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 ] Подставим найденные значения ( a^2 = 16 ) и ( b^2 = 9 ): [ \frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1 ]

Ответ:

Уравнение гиперболы имеет вид: [ \frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1 ]

Для составления уравнения гиперболы по заданным данным (координаты фокусов ( F(\pm 5, 0) ) и уравнения асимптот ( y = \pm \frac{4}{3}x )) нужно учитывать свойства гиперболы.

Гипербола имеет каноническое уравнение в зависимости от её ориентации (горизонтальная или вертикальная). В данном случае фокусы расположены на горизонтальной оси (( x )-оси), следовательно, гипербола будет горизонтальной. Каноническое уравнение такой гиперболы имеет вид:

[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1, ]

где:

• ( a ) — расстояние от центра гиперболы до её вершины,
• ( b ) — параметр, связанный с асимптотами,
• ( c ) — расстояние от центра гиперболы до её фокусов,
• ( c^2 = a^2 + b^2 ).

Давайте пошагово разберёмся и составим уравнение.

1. Найдём ( c ) (расстояние от центра до фокусов)

Фокусы гиперболы расположены в точках ( F_1(-5, 0) ) и ( F_2(5, 0) ). Центр гиперболы находится посередине между фокусами, то есть в точке ( (0, 0) ). Расстояние от центра до фокусов равно:

[ c = 5. ]

2. Выразим наклон асимптот

Асимптоты гиперболы заданы уравнением ( y = \pm \frac{4}{3}x ). Для горизонтальной гиперболы асимптоты имеют вид:

[ y = \pm \frac{b}{a}x. ]

Здесь наклон асимптот равен ( \frac{b}{a} ). Соответственно:

[ \frac{b}{a} = \frac{4}{3}. ]

Отсюда ( b = \frac{4}{3}a ).

3. Используем связь между ( a ), ( b ) и ( c )

Для гиперболы выполняется соотношение:

[ c^2 = a^2 + b^2. ]

Подставим ( c = 5 ) и ( b = \frac{4}{3}a ):

[ 5^2 = a^2 + \left(\frac{4}{3}a\right)^2. ]

Рассчитаем ( \left(\frac{4}{3}a\right)^2 ):

[ \left(\frac{4}{3}a\right)^2 = \frac{16}{9}a^2. ]

Подставим это в уравнение:

[ 25 = a^2 + \frac{16}{9}a^2. ]

Приведём к общему знаменателю:

[ 25 = \frac{9}{9}a^2 + \frac{16}{9}a^2 = \frac{25}{9}a^2. ]

Умножим обе части на 9:

[ 225 = 25a^2. ]

Разделим обе части на 25:

[ a^2 = 9. ]

4. Найдём ( b^2 )

Теперь, когда ( a^2 = 9 ), найдём ( b^2 ) через связь ( b = \frac{4}{3}a ):

[ b = \frac{4}{3}a = \frac{4}{3} \cdot 3 = 4. ]

Следовательно, ( b^2 = 4^2 = 16 ).

5. Запишем уравнение гиперболы

Теперь мы знаем, что:

• ( a^2 = 9 ),
• ( b^2 = 16 ).

Подставляем в каноническое уравнение гиперболы:

[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1. ]

Получаем:

[ \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1. ]

Окончательный ответ:

Уравнение гиперболы:

[ \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1. ]

Чтобы составить уравнение гиперболы, нужно определить её параметры. У нас есть фокусы F(±5; 0), что означает, что гипербола расположена вдоль оси X. Расстояние между фокусами равно 2c, следовательно, c = 5.

Уравнение гиперболы имеет вид:

[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 ]

Где (c^2 = a^2 + b^2). Угловые коэффициенты асимптот дают отношение (b/a). Из уравнения асимптот (y = \pm \frac{4}{3}x) следует, что (b/a = 4/3).

Таким образом, (b = \frac{4}{3}a). Подставим это в уравнение (c^2 = a^2 + b^2):

[ 25 = a^2 + \left(\frac{4}{3}a\right)^2 ]

Решая это уравнение, получаем (a^2 = \frac{225}{25} = 9), следовательно, (a = 3) и (b = 4).

Теперь можно записать окончательное уравнение гиперболы:

[ \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1 ]