Смешав 25%ный и 75%ный раствор кислоты и добавив 10 кг чистой воды получили 50%ный раствор той же кислоты....

Для решения задачи обозначим через ( x ) количество килограммов 25%-ного раствора, а через ( y ) количество килограммов 75%-ного раствора.

Уравнение 1: Получение 50%-ного раствора после добавления воды

Сначала выразим количество кислоты в исходных растворах. В 25%-ном растворе содержится 0.25x килограммов кислоты, а в 75%-ном растворе — 0.75y килограммов кислоты. Общее количество кислоты в смешанной смеси до добавления воды: [ 0.25x + 0.75y ]

Добавим 10 кг чистой воды. Общее количество смеси стало: [ x + y + 10 ]

Общее количество кислоты не изменилось, а концентрация стала 50%, значит: [ \frac{0.25x + 0.75y}{x + y + 10} = 0.5 ]

Перепишем уравнение: [ 0.25x + 0.75y = 0.5(x + y + 10) ]

Упростим: [ 0.25x + 0.75y = 0.5x + 0.5y + 5 ] [ 0.25x + 0.75y - 0.5x - 0.5y = 5 ] [ -0.25x + 0.25y = 5 ] [ -x + y = 20 ] [ y = x + 20 \quad \text{(1)} ]

Уравнение 2: Получение 55%-ного раствора после добавления 15%-ного раствора

Теперь добавляем 5 кг 15%-ного раствора. В этом растворе содержится 0.15 × 5 = 0.75 кг кислоты. Общее количество кислоты в новой смеси: [ 0.25x + 0.75y + 0.75 ]

Общее количество смеси стало: [ x + y + 5 ]

Концентрация стала 55%, значит: [ \frac{0.25x + 0.75y + 0.75}{x + y + 5} = 0.55 ]

Перепишем уравнение: [ 0.25x + 0.75y + 0.75 = 0.55(x + y + 5) ]

Упростим: [ 0.25x + 0.75y + 0.75 = 0.55x + 0.55y + 2.75 ] [ 0.25x + 0.75y + 0.75 - 0.55x - 0.55y = 2.75 ] [ -0.3x + 0.2y = 2 ] [ -3x + 2y = 20 \quad \text{(2)} ]

Решение системы уравнений

Итак, у нас есть система уравнений: [ y = x + 20 \quad \text{(1)} ] [ -3x + 2y = 20 \quad \text{(2)} ]

Подставим выражение из уравнения (1) в уравнение (2): [ -3x + 2(x + 20) = 20 ] [ -3x + 2x + 40 = 20 ] [ -x + 40 = 20 ] [ -x = -20 ] [ x = 20 ]

Теперь подставим ( x = 20 ) в уравнение (1): [ y = 20 + 20 ] [ y = 40 ]

Ответ

Количество килограммов 75%-ного раствора, использованного для получения смеси, составляет 40 кг.

Предположим, что мы использовали ( x ) килограммов 75%ного раствора. Тогда количество кислоты в этом растворе составит ( 0.75x ) кг.

После смешивания с 10 кг воды, общий объем раствора станет равным ( x + 10 ) кг. Из условия задачи мы знаем, что концентрация кислоты в этой смеси составляет 50%, то есть: [ 0.75x \div (x + 10) = 0.5 ]

Решая это уравнение, получаем: [ 0.75x = 0.5(x + 10) ] [ 0.75x = 0.5x + 5 ] [ 0.25x = 5 ] [ x = 20 ]

Значит, мы использовали 20 кг 75%ного раствора для получения данной смеси.