Следующие комплексные числа изобразить векторами и записать в тригонометрической и показательной формах:...

Для начала, давайте рассмотрим комплексное число (1+i).

Изображение векторами

Комплексное число (1+i) можно представить как точку на комплексной плоскости. В этом случае вещественная часть (1) будет координатой по оси (x), а мнимая часть (1) будет координатой по оси (y). То есть, эта точка имеет координаты ((1, 1)).

Эти координаты можно изобразить в виде вектора, который начинается в точке ((0, 0)) и заканчивается в точке ((1, 1)).

Тригонометрическая форма

Тригонометрическая форма комплексного числа (z = a + bi) представляется как: [ z = r (\cos \theta + i \sin \theta) ]

где (r) — модуль комплексного числа, а (\theta) — аргумент (угол) комплексного числа.

1. Модуль комплексного числа (1+i): [ r = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} ]

2. Аргумент комплексного числа (\theta): [ \theta = \tan^{-1} \left( \frac{b}{a} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{1}{1} \right) = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4} ]

Таким образом, тригонометрическая форма комплексного числа (1+i) будет: [ 1+i = \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right) ]

Показательная форма

Показательная форма комплексного числа использует экспоненциальную функцию и представляется как: [ z = r e^{i \theta} ]

где (r) — модуль комплексного числа, а (\theta) — аргумент.

Мы уже нашли, что (r = \sqrt{2}) и (\theta = \frac{\pi}{4}). Подставим эти значения в показательное представление:

[ 1+i = \sqrt{2} e^{i \frac{\pi}{4}} ]

Итог

• Векторное представление: Вектор с началом в точке ((0, 0)) и концом в точке ((1, 1)).
• Тригонометрическая форма: ( 1+i = \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right) )
• Показательная форма: ( 1+i = \sqrt{2} e^{i \frac{\pi}{4}} )

Эти три формы дают нам полное представление о комплексном числе (1+i) в различных контекстах.

Для изображения комплексного числа 1+i в виде вектора на комплексной плоскости, мы можем использовать декартову систему координат, где вещественная часть числа будет соответствовать оси x, а мнимая часть - оси y. Таким образом, число 1+i будет находиться в первом квадранте и образует угол 45 градусов с положительным направлением вещественной оси.

Тригонометрическая форма представления комплексного числа 1+i выглядит следующим образом: 1+i = √2 (cos(π/4) + i sin(π/4))

Показательная форма представления комплексного числа 1+i: 1+i = √2 e^(i π/4)

Таким образом, комплексное число 1+i в виде вектора на комплексной плоскости находится на расстоянии √2 от начала координат и образует угол 45 градусов с положительным направлением вещественной оси.