Скорость точки,движущейся прямолинейно,задана уравнением v=24t-6t^2. (6t^2- 6t в квадрате)вычислить...

Для вычисления пути от начала движения до остановки точки, движущейся прямолинейно, необходимо найти площадь под графиком скорости от начала до момента остановки.

Интегрируем уравнение скорости по времени, чтобы найти уравнение пути: s = ∫(24t - 6t^2) dt = 12t^2 - 2t^3 + C

Точка останавливается при v = 0, поэтому 24t - 6t^2 = 0 => 6t(4 - t) = 0 => t = 0 или t = 4

Итак, точка останавливается через 4 секунды. Вычислим путь от начала движения до остановки: s(4) = 12(4)^2 - 2(4)^3 = 192 - 128 = 64

Таким образом, путь от начала движения до остановки точки равен 64 единицам длины (например, метрам или сантиметрам).

Для решения задачи нам нужно определить путь, который прошла точка от начала движения до момента остановки. Скорость точки задана уравнением ( v(t) = 24t - 6t^2 ).

Шаг 1: Найти момент остановки

Точка останавливается, когда её скорость становится равной нулю. Поэтому нам нужно решить уравнение:

[ v(t) = 24t - 6t^2 = 0. ]

Разделим на 6 и упростим:

[ 4t - t^2 = 0. ]

Разложим на множители:

[ t(4 - t) = 0. ]

Таким образом, ( t = 0 ) или ( t = 4 ). Поскольку нас интересует путь от начала до остановки, мы берём ( t = 4 ), так как ( t = 0 ) соответствует началу движения.

Шаг 2: Вычислить путь

Путь ( s(t) ) определяется как интеграл от скорости:

[ s(t) = \int v(t) \, dt = \int (24t - 6t^2) \, dt. ]

Выполним интегрирование:

[ s(t) = \int (24t - 6t^2) \, dt = \int 24t \, dt - \int 6t^2 \, dt. ]

Интегрируем каждый член отдельно:

[ \int 24t \, dt = 12t^2 + C_1, ] [ \int 6t^2 \, dt = 2t^3 + C_2. ]

Таким образом, общий интеграл будет:

[ s(t) = 12t^2 - 2t^3 + C. ]

Для определения постоянной интегрирования ( C ), учтем, что в начальный момент времени ( (t = 0) ) пройденный путь ( s(0) = 0 ):

[ s(0) = 12(0)^2 - 2(0)^3 + C = 0. ]

Отсюда следует, что ( C = 0 ).

Итак, функция пути:

[ s(t) = 12t^2 - 2t^3. ]

Шаг 3: Подставить момент остановки

Теперь подставим ( t = 4 ) в уравнение пути:

[ s(4) = 12(4)^2 - 2(4)^3. ]

Вычислим:

[ s(4) = 12 \times 16 - 2 \times 64, ] [ s(4) = 192 - 128, ] [ s(4) = 64. ]

Таким образом, путь, пройденный точкой от начала до остановки, составляет 64 единицы длины.

Для нахождения пути от начала до остановки нужно найти площадь под графиком скорости. Для этого необходимо найти интеграл скорости от 0 до t, где t - время остановки. Итак, S = ∫(24t - 6t^2) dt от 0 до t = [12t^2 - 2t^3] от 0 до t = 12t^2 - 2t^3. Подставляем t = 4 (время остановки) и получаем S = 124^2 - 24^3 = 192 - 128 = 64.