Скорость движения точка V(t)=24t-6t^2(м/с) Найти : -Путь пройденный за 3(три) секунды от начала движения...

Для решения задач по нахождению пути, пройденного точкой с заданной скоростью ( V(t) = 24t - 6t^2 ) (м/с), воспользуемся интегрированием и анализом функции скорости.

1. Путь, пройденный за 3 секунды от начала движения:

Чтобы найти путь ( S(t) ), нужно интегрировать скорость ( V(t) ):

[ S(t) = \int V(t) \, dt = \int (24t - 6t^2) \, dt ]

Выполним интегрирование:

[ S(t) = \int (24t - 6t^2) \, dt ] [ S(t) = 24 \int t \, dt - 6 \int t^2 \, dt ] [ S(t) = 24 \left( \frac{t^2}{2} \right) - 6 \left( \frac{t^3}{3} \right) + C ] [ S(t) = 12t^2 - 2t^3 + C ]

Поскольку нас интересует путь от начала движения (( t = 0 )), постоянная интегрирования ( C = 0 ):

[ S(t) = 12t^2 - 2t^3 ]

Теперь подставим ( t = 3 ) для нахождения пути за первые 3 секунды:

[ S(3) = 12(3)^2 - 2(3)^3 ] [ S(3) = 12 \cdot 9 - 2 \cdot 27 ] [ S(3) = 108 - 54 ] [ S(3) = 54 \, \text{м} ]

Таким образом, путь, пройденный за 3 секунды от начала движения, составляет 54 метра.

1. Путь, пройденный за 3-ю секунду:

Чтобы найти путь, пройденный за 3-ю секунду, нужно найти путь, пройденный за 3 секунды, и вычесть путь, пройденный за 2 секунды.

Вычислим путь, пройденный за 2 секунды:

[ S(2) = 12(2)^2 - 2(2)^3 ] [ S(2) = 12 \cdot 4 - 2 \cdot 8 ] [ S(2) = 48 - 16 ] [ S(2) = 32 \, \text{м} ]

Теперь найдем разницу:

[ S{\text{за 3-ю секунду}} = S(3) - S(2) ] [ S{\text{за 3-ю секунду}} = 54 - 32 ] [ S_{\text{за 3-ю секунду}} = 22 \, \text{м} ]

Таким образом, путь, пройденный за 3-ю секунду, составляет 22 метра.

1. Путь от начала движения до остановки:

Для нахождения момента остановки нужно определить, когда скорость ( V(t) ) становится равной нулю:

[ V(t) = 24t - 6t^2 = 0 ]

Решим это уравнение:

[ 24t - 6t^2 = 0 ] [ 6t (4 - t) = 0 ]

Отсюда ( t = 0 ) или ( t = 4 ). Поскольку ( t = 0 ) — это начало движения, нас интересует второй корень ( t = 4 ) секунды.

Теперь найдем путь, пройденный за 4 секунды:

[ S(4) = 12(4)^2 - 2(4)^3 ] [ S(4) = 12 \cdot 16 - 2 \cdot 64 ] [ S(4) = 192 - 128 ] [ S(4) = 64 \, \text{м} ]

Таким образом, путь, пройденный от начала движения до остановки, составляет 64 метра.

Для нахождения пути пройденного за определенное время t, необходимо проинтегрировать функцию скорости V(t) от начального момента времени до момента времени t.

1. Путь пройденный за 3 секунды от начала движения: S(3) = ∫[0,3](24t - 6t^2) dt S(3) = [12t^2 - 2t^3] от 0 до 3 S(3) = 12(3)^2 - 2(3)^3 - (12(0)^2 - 2(0)^3) S(3) = 108 - 54 = 54 м

2. Путь пройденный за третью секунду: Для нахождения пути за третью секунду (от 2 до 3 секунды), мы можем вычислить разность между путями, пройденными за 2 секунды и за 3 секунды: S(3) - S(2) = ∫[2,3](24t - 6t^2) dt S(3) - S(2) = [12t^2 - 2t^3] от 2 до 3 S(3) - S(2) = 12(3)^2 - 2(3)^3 - (12(2)^2 - 2(2)^3) S(3) - S(2) = 108 - 54 - (48 - 16) S(3) - S(2) = 54 - 32 = 22 м

3. Путь от начала движения до остановки: Для нахождения пути от начала движения до остановки, необходимо найти момент времени t, когда скорость точки равна нулю. Для этого решим уравнение V(t) = 0: 24t - 6t^2 = 0 6t(4 - t) = 0 t = 0 или t = 4

Точка остановится через 4 секунды после начала движения. Таким образом, путь от начала движения до остановки: S(4) = ∫[0,4](24t - 6t^2) dt S(4) = 12(4)^2 - 2(4)^3 - (12(0)^2 - 2(0)^3) S(4) = 192 - 128 = 64 м

Итак, путь пройденный за 3 секунды равен 54 м, за третью секунду - 22 м, а от начала движения до остановки - 64 м.